Ertragsgesetzliche Kostenfunktion

In der Realität beobachten wir häufig, dass bei der Produktion eines Guts die Kosten zunächst immer langsamer anwachsen. Ab einer gewissen Produktionsmenge steigen die Kosten dann immer schneller an. Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion modelliert diese Kostenentwicklung.

Definition

Erfüllt der Graph einer Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K }[/math] alle nachfolgenden Bedingungen, dann heißt [math]\displaystyle{ K }[/math] ertragsgesetzliche Kostenfunktion.

1. Der y-Achsenabschnitt (Fixkosten) ist positiv.
2. Der Graph ist in diesem Intervall streng monoton steigend.
3. Der Graph verläuft zunächst degressiv (rechtsgekrümmt), danach progressiv (linksgekrümmt) und hat somit ein Grenzkostenminimum bzw. einen Wendepunkt mit Rechts-Linkskrümmung.

Wir sagen dann auch, dass die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K }[/math] ertragsgesetzlich ist.

Satz zur ertragsgesetzlichen Kostenfunktion

Ein Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K\left(x\right)={ax}^3+bx^2+cx+d }[/math] ist auf einem Intervall [math]\displaystyle{ I }[/math] ertragsgesetzlich, falls

1. [math]\displaystyle{ d\gt 0 }[/math] ([math]\displaystyle{ d }[/math] sind die Fixkosten)
2. [math]\displaystyle{ K'(0)\gt 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ K' }[/math] keine Nullstellen hat
3. [math]\displaystyle{ K''(x_0)=0 }[/math] und [math]\displaystyle{ K'''(x_0)\gt 0 }[/math]

mit einem [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] gilt.

Koeffizientenkriterium

Eine ganzrationale Kostenfunktion dritten Grades,

[math]\displaystyle{ K\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d }[/math]

ist ertragsgesetzlich, falls für die Koeffizienten

1. [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ b^2\lt 3ac }[/math]
5. [math]\displaystyle{ d\gt 0 }[/math]

gilt. Dies nennen wir Koeffizientenkriterium.

Beispiele

Graphisch prüfen, ob eine Kostenfunktion ertragsgesetzlich ist

Ertragsgesetzliche Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K\left(x\right)=0,03x^3-2x^2+60x+500 }[/math] mit Grenzkostenfunktion [math]\displaystyle{ K' }[/math]

Die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K\left(x\right)=0,03x^3-2x^2+60x+500 }[/math] in der Grafik ist auf [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{ök}=\mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] ertragsgesetzlich, da gilt:

1. Die Fixkosten betragen 500 und sind damit größer als 0.
2. Der Graph von [math]\displaystyle{ K }[/math] wächst kontinuierlich und ist damit streng monoton steigend. Dies erkennen wir auch daran, dass die Grenzkostenfunktion [math]\displaystyle{ K' }[/math] keine Nullstelle hat und oberhalb der x-Achse verläuft.
3. Der Graph von [math]\displaystyle{ K }[/math] ist bis zum Wendepunkt rechts- und dann linksgekrümmt.

Rechnerisch prüfen, ob eine Kostenfunktion ertragsgesetzlich ist

Wir betrachten wieder die Kostenfunktion

[math]\displaystyle{ K(x)=0,03x^3-2x^2+60x+500 }[/math]

mit der Grenzkostenfunktion

[math]\displaystyle{ K'(x)=0,09x^2-4x+60 }[/math] und den Ableitungen

[math]\displaystyle{ K''(x)=0,18x-4 }[/math] sowie

[math]\displaystyle{ K'''(x)=0,18 }[/math]

auf [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{ök}=\mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] und verwenden den Satz zur ertragsgesetzlichen Kostenfunktion.

1. Da [math]\displaystyle{ K(0)=0,03 \cdot ^3-2 \cdot 0^2+60 \cdot 0+500=500\gt 0 }[/math], sind die Fixkosten positiv.
2. Überprüfen, ob die Steigung bei [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] positiv ist und ob [math]\displaystyle{ K' }[/math] keine Nullstellen hat.
   1. [math]\displaystyle{ K'(0)=0,09 \cdot 0^2-4 \cdot 0+60=60\gt 0 }[/math], die Steigung ist bei [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] positiv.
   2. [math]\displaystyle{ K'(x)=0 }[/math]
      [math]\displaystyle{ 0,09x^2-4x+60=0 }[/math]
      pq-Formel oder Taschenrechner zeigen, dass keine Lösung existiert. Damit hat [math]\displaystyle{ K' }[/math] keine Nullstellen.
3. Überprüfen, ob eine Wendestelle mit Rechts-Linkskrümmung (degressiv zu progressiv) vorliegt.
   1. [math]\displaystyle{ K''(x)=0 }[/math]
      [math]\displaystyle{ 0,18x-4=0 }[/math]
      [math]\displaystyle{ 0,18x=4 }[/math]
      [math]\displaystyle{ x=22,\bar{2} }[/math]
   2. [math]\displaystyle{ K'''(22,\bar{2})=0,18\gt 0 }[/math], also ist [math]\displaystyle{ x=22,\bar{2} }[/math] eine Wendestelle mit Rechts-Linkskrümmung (degressiv zu progressiv)

Die Kostenfunktion erfüllt alle drei Bedingungen und ist damit ertragsgesetzlich.