Grenzkostenminimum
Die Extremstelle zum Grenzkostenminimum gibt an, für welche Produktionsmenge der Kostenzuwachs minimal ist. Dieser Kostenzuwachs ist das Grenzkostenminimum.
Definition
Es sei [math]\displaystyle{ K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K }[/math] eine Kostenfunktion, [math]\displaystyle{ K' }[/math] die dazugehörige Grenzkostenfunktion und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] die Extremstelle zum Tiefpunkt von [math]\displaystyle{ K' }[/math], dann nennen wir [math]\displaystyle{ K'(x_0) }[/math] Grenzkostenminimum.
Zusammenhang zwischen Grenzkostenminimum und Wendepunkt
Ist [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] die Extremstelle zum Grenzkostenminimum [math]\displaystyle{ K'(x_0) }[/math] für eine Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle von [math]\displaystyle{ K }[/math].
Beispiele
Grenzkostenminimum berechnen
Wir betrachten die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K(x)=3x^3-45x^2+300x+192 }[/math] mit [math]\displaystyle{ x }[/math] in ME und [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE. Es gilt
[math]\displaystyle{ K'(x)=9x^2-90x+300 }[/math]
[math]\displaystyle{ K''(x)=18x-90 }[/math]
[math]\displaystyle{ K'''(x)=18 }[/math]
1. Notwendige Bedingung: [math]\displaystyle{ K''(x)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18x-90=0~|~+90 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18x=90~|~:18 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=5 }[/math]
2. Hinreichende Bedingung:
[math]\displaystyle{ K'''(5)=18 \gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ K' }[/math] hat bei [math]\displaystyle{ x=5 }[/math] ein Minimum.
3. Funktionswert berechnen:
[math]\displaystyle{ K'(5)=9 \cdot 5^2-90 \cdot 5+300=75 }[/math]
Das Grenzkostenminimum beträgt 75 [math]\displaystyle{ \frac{GE}{ME} }[/math].
Wendepunkt der Kostenfunktion mit Hilfe des Grenzkostenminimums ermitteln
Bei der Berechnung des Wendepunkts [math]\displaystyle{ K }[/math] von sind die Schritte 1 und 2 identisch zur oberen Rechnung. Der Funktionswert zum Wendepunkt ist jedoch [math]\displaystyle{ K(5)=3 \cdot 5^3-45 \cdot 5^2+300 \cdot 5+192=942 }[/math]. Der Wendepunkt von [math]\displaystyle{ K }[/math] ist also [math]\displaystyle{ W(5|942) }[/math]. [math]\displaystyle{ K }[/math] hat wegen Schritt 2 eine Rechts-Linkskrümmung bei [math]\displaystyle{ W }[/math].