Wendepunkt

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] eine stetige Funktion. [math]\displaystyle{ W(x_0,f(x_0) }[/math] für [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math] heißt Wendepunkt von [math]\displaystyle{ f }[/math], wenn an [math]\displaystyle{ W }[/math] ein Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve stattfindet. Wir nennen das eine Links-Rechtskrümmung oder Rechts-Linkskrümmung. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] nennen wir dann Wendestelle.

Sattelpunkt

Es sei [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] eine stetig differenzierbare Funktion und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Gilt [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math], heißt [math]\displaystyle{ (x_0|f(x_0)) }[/math] Sattelpunkt von [math]\displaystyle{ f }[/math].

Wendepunkt berechnen

Wendepunkte lassen sich mit Hilfe der Ableitungsfunktion bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Funktionswert berechnet. Im Folgenden sei [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] eine stetig differenzierbare Funktion mit [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math] und den Ableitungsfunktionen [math]\displaystyle{ f', f'' }[/math] und [math]\displaystyle{ f''' }[/math].

Notwendige Bedingung für Wendestellen

Hat [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle, so gilt [math]\displaystyle{ f''(x_0)=0 }[/math]. D. h. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ist eine Nullstelle von [math]\displaystyle{ f'' }[/math].

Hinreichende Bedingung für Wendestellen

Hat [math]\displaystyle{ f'' }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so hat der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] einen Wendepunkt. Findet der Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv statt, hat der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Rechts-Linkskrümmung. Findet der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt, hat der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Links-Rechtskrümmung.

Alternativ können wir [math]\displaystyle{ f''' }[/math] verwenden:

Ist [math]\displaystyle{ f''(x_0)=0 }[/math] und [math]\displaystyle{ f'''(x_0)\neq0 }[/math], dann hat der Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] einen Wendepunkt. Gilt [math]\displaystyle{ f'''(x_0)\gt 0 }[/math], hat der Graph bei [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Rechts-Linkskrümmung. Gilt [math]\displaystyle{ f'''(x_0)\lt 0 }[/math], hat der Graph bei [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine eine Links-Rechtskrümmung.

Funktionswert berechnen

Erfüllt ein [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math] die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] berechnet.

Beispiele

Kurvenübergänge graphisch erläutert

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=sin(2x) }[/math]

Im Bild auf der rechten Seite ist die Tangente während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.

Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen

Graph von [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2 }[/math] mit Ableitungen

Wir betrachten [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2 }[/math] mit den Ableitungen [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x }[/math], [math]\displaystyle{ f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4 }[/math] und [math]\displaystyle{ f'''\left(x\right)=24x-18 }[/math].

1. Notwendige Bedingung:

[math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 12x^2-18x-4=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_0\approx 1,696,~x_1\approx -0,196 }[/math]

2. Hinreichende Bedingung:

[math]\displaystyle{ f'''(1,696) \approx 22,704 }[/math] und [math]\displaystyle{ f'''(-0,196) \approx -22,704 }[/math]

Also geht an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] der Graph von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Bei [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] geht der Graph von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über.

3. Funktionswert berechnen:

[math]\displaystyle{ f(1,696)\approx-12,121 }[/math] und [math]\displaystyle{ f(x_1)\approx-0,052 }[/math]

[math]\displaystyle{ f }[/math] die Wendepunkte [math]\displaystyle{ W_0(1,696|-12,121) }[/math] und [math]\displaystyle{ W_1(-0,196|-0,052) }[/math].

Sattelpunkt

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math]

Wir betrachten die Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math] mit [math]\displaystyle{ f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~ }[/math].

1. Notwendige Bedingung:

[math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 6x=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

2. Hinreichende Bedingung:

[math]\displaystyle{ f'''(x)=6\gt 0 }[/math]

Der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] geht bei [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über.

3. Funktionswert berechnen:

[math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f }[/math] den Wendepunkt [math]\displaystyle{ W(0|0) }[/math]

Außerdem ist [math]\displaystyle{ W }[/math] ein Sattelpunkt, da [math]\displaystyle{ f'(0)=3 \cdot 0^2 =0 }[/math] gilt. Die notwendige Bedingung für Extremwerte ist also ebenfalls erfüllt. Die Steigung in [math]\displaystyle{ W }[/math] ist [math]\displaystyle{ 0 }[/math].