Monotone Funktion

Wir analysieren im Folgenden den Verlauf der Graphen von Funktionen mit Hilfe der Ableitung.

Definition

Eine Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] heißt

• monoton steigend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f }[/math] mit [math]\displaystyle{ x_1 \lt x_2 }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f(x_1) \leq f(x_2) }[/math] ist.
• streng monoton steigend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f }[/math] mit [math]\displaystyle{ x_1 \lt x_2 }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f(x_1) \lt f(x_2) }[/math] ist.
• monoton fallend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f }[/math] mit [math]\displaystyle{ x_1 \lt x_2 }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f(x_1) \geq f(x_2) }[/math] ist.
• streng monoton fallend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x_1,x_2 \in \mathbb{D}_f }[/math] mit [math]\displaystyle{ x_1 \lt x_2 }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f(x_1) \gt f(x_2) }[/math] ist.
• monoton, wenn sie monoton steigt oder fällt.
• streng monoton, wenn sie streng monoton steigt oder fällt.

Monotoniesatz

Eine differenzierbare Funktion [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] ist

• monoton steigend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D}_f }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f'(x)\geq 0 }[/math] ist.
• streng monoton steigend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D}_f }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f'(x)\gt 0 }[/math] ist.
• monoton fallend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D}_f }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f'(x) \leq 0 }[/math] ist.
• streng monoton fallend, wenn für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D}_f }[/math] gilt, dass [math]\displaystyle{ f'(x)\lt 0 }[/math] ist.

Krümmung einer Funktion

Die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] sei an jedem Punkt [math]\displaystyle{ f }[/math] in einem Intervall [math]\displaystyle{ I \subseteq \mathbb{D}_f }[/math] differenzierbar. Der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist auf [math]\displaystyle{ I }[/math]

• linksgekrümmt, falls die Ableitungsfunktion [math]\displaystyle{ f' }[/math] in [math]\displaystyle{ I }[/math] monoton steigt.
• rechtsgekrümmt, falls die Ableitungsfunktion [math]\displaystyle{ f' }[/math] in [math]\displaystyle{ I }[/math] monoton fällt.

Wir sprechen auch von Links- oder Rechtskurven bzw. Rechts- oder Linkskrümmung.

Degressiv und Progressiv

Eine Funktion

• wächst degressiv, wenn die Funktion monoton steigt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.
• nimmt degressiv ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph linksgekrümmt verläuft.
• wächst progressiv, wenn die Funktion monoton steigt und der Graph linkgsgekrümmt verläuft.
• nimmmt progressiv ab, wenn die Funktion monoton fällt und der Graph rechtsgekrümmt verläuft.

Beispiele

Monotonie einer linearen Funktion

Graph von [math]\displaystyle{ f(x)=1,5x+0 }[/math]

Die Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=1,5x+0 }[/math] ist für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] streng monoton steigend, da [math]\displaystyle{ f'(x)=1,5\gt 0 }[/math] gilt. Außerdem ist für beliebige [math]\displaystyle{ x }[/math]-Werte die obige Definition für eine streng monoton steigende Funktion erfüllt. Beispielsweise gilt für [math]\displaystyle{ x_1=1 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_2=2 }[/math], dass [math]\displaystyle{ x_1=1\lt 2=x_2 }[/math] und [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(1)=1,5\lt 3=f(2)=f(x_2) }[/math] ist. Der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] steigt folglich im kompletten Definitionsbereich.

Monotonie einer quadratischen Funktion

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]

Die Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=1,5x+0 }[/math] ist für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^{\gt 0} }[/math] streng monoton steigend und für alle [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^{\lt 0} }[/math] streng monoton fallend. Für die Ableitungsfunktion gilt [math]\displaystyle{ f'(x)=2x }[/math]. [math]\displaystyle{ f' }[/math] nimmt positive Funktionswerte für positive [math]\displaystyle{ x }[/math]-Werte an und negative Funktionswerte für negative [math]\displaystyle{ x }[/math]-Werte an.

Außerdem ist der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] linksgekrümmt, da [math]\displaystyle{ f' }[/math] monoton steigt. Das erkennen wir daran, dass [math]\displaystyle{ f''(x)=2\gt 0 }[/math] ist.