Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]].

Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> oder <math>B(n;p;k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]].

==Erwartungswert==

==Eigenschaften==

===Erwartungswert===

Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\mu=E(X)=n\cdot p</math> der [[Erwartungswert]] <math>X</math>.

==Varianz==

===Varianz===

Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma^2=V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)</math> die [[Varianz_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Varianz]] von <math>X</math>.

==Standardabweichung==

===Standardabweichung===

Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math> die [[Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Standardabweichung]] von <math>X</math>.

===Histogramm===

Im folgenden Video wird das [[Histogramm]] der Binomialverteilung erläutert.

==Sigmaregeln==

Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1 </math>, dann gilt

*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,~~680~~</math> <math>1\sigma</math>-Regel

*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,683</math> <math>1\sigma</math>-Regel

*<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel

*<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>

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*<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel

*<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel

Diese Regeln können im [[Histogramm#Histogramm_der_Binomialverteilung|Histogramm]] grafisch dargestellt werden.

==Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten==

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[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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 ==Definition==
-Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]].
+Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> oder <math>B(n;p;k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]].
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-==Erwartungswert==
+==Eigenschaften==
+===Erwartungswert===
 Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\mu=E(X)=n\cdot p</math> der [[Erwartungswert]] <math>X</math>.
-==Varianz==
+===Varianz===
 Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma^2=V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)</math> die [[Varianz_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Varianz]] von <math>X</math>.
-==Standardabweichung==
+===Standardabweichung===
 Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math> die [[Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Standardabweichung]] von <math>X</math>.
+===Histogramm===
+Im folgenden Video wird das [[Histogramm]] der Binomialverteilung erläutert.
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Lc_R0vBSKHw?si=V72WfOUjhQRQlrN9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Sigmaregeln==
 Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann gilt
-*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,680</math> <math>1\sigma</math>-Regel
+*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,683</math> <math>1\sigma</math>-Regel
 *<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel
 *<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>
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 *<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel
 *<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel
+Diese Regeln können im [[Histogramm#Histogramm_der_Binomialverteilung|Histogramm]] grafisch dargestellt werden.
 ==Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten==
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 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]