Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Zufallsexperiment ordnet den Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zu. Sie wird häufig durch ein Histogramm visualisiert.
Definition
Es sei [math]\displaystyle{ S=\{e_1;...;e_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ A }[/math] ein Ereignis. Die Zahlen [math]\displaystyle{ P(e_i) \in \mathbb{R} }[/math] mit
1. [math]\displaystyle{ 0 \leq P(e_i) \leq 1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ i \in \mathbb{N} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math]
2. [math]\displaystyle{ P\left(S\right)=P\left(e_1\right)+\ldots+P\left(e_n\right)\mathrm{\ =1} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ P(A)=P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_m) }[/math] mit [math]\displaystyle{ A=\{e_1,e_2,...,e_m \} }[/math] und [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N} }[/math]
nennt man die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ e_i }[/math] für [math]\displaystyle{ i,n\ \in\mathbb{N} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1\ \leq i\ \leq n }[/math]. Die Funktion [math]\displaystyle{ P:S\rightarrow \mathbb{R} }[/math] heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten
Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine Zufallsvariable und [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/math]. Es gelten die folgenden Konventionen:
- [math]\displaystyle{ P(X=k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
- [math]\displaystyle{ P(X\leq k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
- [math]\displaystyle{ P(X \lt k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
- [math]\displaystyle{ P(X\geq k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
- [math]\displaystyle{ P(X \gt k) }[/math] bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
Außerdem gilt
- [math]\displaystyle{ P(X\le k)=1-P(X\gt k) }[/math]
- [math]\displaystyle{ P(X\geq k)=1-P(X\lt k) }[/math]
- [math]\displaystyle{ P(X\geq k)=1-P(X\le k)+P(X=k) }[/math]
Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen
Für ein Zufallsexperiment sei [math]\displaystyle{ P }[/math] eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und [math]\displaystyle{ A,~ B }[/math] seien Ereignisse. Dann gilt:
[math]\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) }[/math]
und
[math]\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)\ +P(B)-P(A\cap B) }[/math]
Beispiele
Wahrscheinlichkeitsverteilung einfacher Münzwurf
Beim Münzwurf gilt beispielsweise [math]\displaystyle{ Kopf\mapsto\frac{1}{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ Zahl\mapsto\frac{1}{2} }[/math]. Die Zuordnung wird oft als Tabelle dargestellt:
| Ergebnis [math]\displaystyle{ e_i }[/math] | Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(e_i) }[/math] |
|---|---|
| Kopf | [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] |
| Zahl | [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] |
Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels
Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet [math]\displaystyle{ X=3 }[/math], dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch [math]\displaystyle{ P(X=k)=\frac{1}{6} }[/math] mit [math]\displaystyle{ k \in \{1;...;6\} }[/math] gegeben.