Zufallsexperiment

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zufallsexperimente analysiert und auf Basis von Berechnungen werden Wahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen Ausgänge des Zufallsexperiments angegeben. Zufallsexperimente werden mit Hilfe von Baumdiagrammen visualisiert.

Definition

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet ein Zufallsexperiment einen Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang hat. Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnisse. Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer Menge zusammenfasst, erhält man die Ergebnismenge.

Zufallsvariable

Kann man den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zuordnen, so nennt man eine Variable für diese Zahlen Zufallsvariable. Zufallsvariablen werden häufig mit Großbuchstaben abgekürzt (z. B. X).

Ereignis

Ein Zufallsexperiment habe die Ergebnismenge [math]\displaystyle{ S }[/math]. Jede Teilmenge [math]\displaystyle{ A }[/math] von [math]\displaystyle{ S }[/math] ist ein Ereignis. Endet die Durchführung des Zufallsexperiments mit einem Ergebnis aus [math]\displaystyle{ A }[/math], so ist das Ereignis [math]\displaystyle{ A }[/math] eingetreten.

Sicheres Ereignis

Sei [math]\displaystyle{ S }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und [math]\displaystyle{ E }[/math] ein Ereignis mit [math]\displaystyle{ S }[/math] = [math]\displaystyle{ E }[/math], dann heißt [math]\displaystyle{ E }[/math] sicheres Ereignis.

Unmögliches Ereignis

Das Ereignis [math]\displaystyle{ F = \emptyset }[/math] heißt unmögliches Ereignis. [math]\displaystyle{ F }[/math] enthält also kein Ergebnis und ist damit die leere Menge.

Elementarereignis

Gilt [math]\displaystyle{ G=\{{g}_1\} }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ |G| = 1 }[/math] für ein Ereignis [math]\displaystyle{ G }[/math], so spricht man von einem Elementarereignis.

Gegenereignis

[math]\displaystyle{ \bar{H} }[/math] ist das Gegenereignis von [math]\displaystyle{ H }[/math], d. h. es gilt [math]\displaystyle{ \bar{H}=S\ \setminus\ H }[/math] und [math]\displaystyle{ H\cup\bar{H}=S }[/math].

Beispiele

Zufallsexperiment Wurf eines Würfels

Ein Würfel mit der Augenzahl von 1 bis 6 wird einmal geworfen und man beobachtet, welche Zahl oben liegt. Es handelt sich hierbei um ein Zufallsexperiment, da der Ausgang zufällig ist und der Versuch unter genau festgelegten Bedingungen stattfindet.

• Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet [math]\displaystyle{ X=3 }[/math], dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde.
• Ein mögliches Ergebnis: [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
• Ergebnismenge: [math]\displaystyle{ S = \{1;2;3;4;5;6\} }[/math]
• Ereignis, dass keine 2 oder 3 gewürfelt wurde: [math]\displaystyle{ E = \{1;4;5;6\} }[/math]
• Sicheres Ereignis: [math]\displaystyle{ S }[/math]
• Unmögliches Ereignis: Es wurde eine 7 gewürfelt.
• Elementarereignis: [math]\displaystyle{ G=\{1\} }[/math]
• Gegenereignis zu [math]\displaystyle{ A = \{1;2\} }[/math]: [math]\displaystyle{ \bar{A} = \{3;4;5;6\} }[/math]

Zufallsexperiment dreifacher Münzwurf

Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Es handelt sich hierbei um ein Zufallsexperiment, da der Ausgang zufällig ist und der Versuch unter genau festgelegten Bedingungen stattfindet.

• Ein Ergebnis ist [math]\displaystyle{ ZKZ }[/math]. Es wurde also im ersten Wurf Zahl, im zweiten Wurf Kopf und im dritten Wurf Zahl geworfen.
• Alle möglichen Ergebnisse werden durch die Ergebnismenge [math]\displaystyle{ S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} }[/math] beschrieben.
• Das Ereignis, dass kein Kopf erscheint, ist [math]\displaystyle{ A = \{ZZZ\} }[/math].
• Das Ereignis, dass zwei- oder dreimal hintereinander Zahl erscheint, ist [math]\displaystyle{ B = \{ZZK; KZZ\}\cup \{ZZZ\} =\{ZZZ; ZZK; KZZ\} }[/math].
• [math]\displaystyle{ S }[/math] ist dann auch das sichere Ereignis.
• Ein unmögliches Ereignis ist, dass bei jedem Wurf eine Blume kommt.
• [math]\displaystyle{ G=\{ZKZ\} }[/math] ist ein Elementarereignis.
• Das Gegenereignis [math]\displaystyle{ \bar{A} }[/math] von [math]\displaystyle{ A = \{ZZZ\} }[/math] ist [math]\displaystyle{ \bar{A} =S \backslash A=\{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} \backslash \{ZZZ\}= \{ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} }[/math].