Baumdiagramm
Definition
Ein Baumdiagramm stellt die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments grafisch dar. Es dient dazu, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Ergebnisse zu berechnen und zu visualisieren.
Jeder Knoten eines Baumdiagramms repräsentiert ein bestimmtes Zwischenergebnis im Ablauf des Zufallsexperiments. Die Knoten sind durch Zweige bzw. Kanten verbunden. Jeder Zweig ist mit der Wahrscheinlichkeit beschriftet, mit der das Zwischenergebnis des verbundenen Knotens eintrifft. Ein Pfad ist eine Folge von Knoten, die durch Zweige miteinander verbunden sind. Ein Pfad der bei dem Anfangsknoten startet und bei einem Endknoten endet repräsentiert ein Ergebnis des Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses wird an das Ende des Pfades geschrieben.
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm ermitteln
Zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm existieren die folgenden beiden Regeln.
Pfadmultiplikation
Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades ist.
Pfadaddition
Die Pfadadditionsregel besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse sind.
Beispiele
Zufallsexperiment dreifacher Münzwurf grafisch darstellen
Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist dann [math]\displaystyle{ S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} }[/math].
Die rechte Abbildung zeigt, wie eine Ergebnismenge [math]\displaystyle{ S }[/math] mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden kann. Der erste Knoten ist der Anfangsknoten, von dem zwei Zweige zu den Knoten Z und K ausgehen. Diese beiden Knoten repräsentieren das Resultat des ersten Wurfs und damit ein Zwischenergebnis des Zufallsexperiments. Von diesen Knoten gehen Zweige zu den Knoten ab, die das Resultat des zweiten Wurfs repräsentieren. Das Prinzip wird fortgesetzt, bis ein Endknoten erreicht ist. Der Endknoten repräsentiert die letzte Stufe des Zufallsexperiments. Der Pfad Anfangsknoten; Z; K; Z repräsentiert beispielsweise das Ergebnis erster Wurf Zahl, zweiter Wurf Kopf und dritter Wurf Zahl ist.
Das Ereignis, dass zwei- oder dreimal hintereinander Zahl erscheint, ist [math]\displaystyle{ B = \{ZZZ; ZZK; KZZ\} }[/math]. Ereignis [math]\displaystyle{ B }[/math] tritt also ein, wenn das Zufallsexperiment entlang einer zu Ereignis [math]\displaystyle{ B }[/math] gehörigen Kantenkombination führt (z. B. KZZ).
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit für jeden Zweig ist 0,5, da bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit für Kopf bzw. Zahl 0,5 beträgt. Diese Wahrscheinlichkeit wird auf den jeweiligen Zweig geschrieben. Wir definieren eine Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], die die Häufigkeit von Zahl angibt. [math]\displaystyle{ X }[/math] kann dann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis ZZZ berechnet sich gemäß der Pfadmultiplikation durch [math]\displaystyle{ P\left(ZZZ\right)=P(X=3)=0,5\cdot0,5\cdot0,5=0,125=12,5\% }[/math]. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, Die ersten beiden Würfe ergeben Zahl [math]\displaystyle{ \{ZZZ; ZZK\} }[/math], berechnet sich gemäß der Pfadaddition durch [math]\displaystyle{ P\left(\{ZZZ;ZZK\} \right)=P(\{ZZZ\})+P(\{ZZK\})=0,125+0,125=0,25=25\% }[/math]. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch den Pfad zu einem Ergebnis und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit visualisiert. Beispielsweise gilt [math]\displaystyle{ ZKZ \mapsto 0,125 }[/math].