Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Gemäß dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments den Wahrscheinlichkeiten an. Die Varianz ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ S=\{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math]. Für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] und die Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] sei [math]\displaystyle{ P(X=x_i) }[/math] die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ x_i }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math] und [math]\displaystyle{ E(X) }[/math] der Erwartungswert. Dann ist [math]\displaystyle{ \sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-E(X))^2 \cdot P(X=x_n) }[/math] die Varianz der Zufallsvariable.

Standardabweichung

Für ein Zufallsexperiment sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine Zufallsvariable und [math]\displaystyle{ V(X) }[/math] die Varianz der Zufallsvariable, dann heißt [math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)} }[/math] Standardabweichung.

Beispiele

Varianz zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln

Für das Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfes mit der Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], Anzahl von Zahl, und der Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P(X=0)=0,125 }[/math], [math]\displaystyle{ P(X=1)=0,375 }[/math], [math]\displaystyle{ P(X=2)=0,375 }[/math] und [math]\displaystyle{ P(X=3)=0,125 }[/math], wird der Erwartungswert durch [math]\displaystyle{ E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5 }[/math] berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch [math]\displaystyle{ V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75 }[/math].

Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln

Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] berechnet sich durch durch [math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87 }[/math]. Die erwartete Abweichung vom Erwartungswert beträgt [math]\displaystyle{ 0,87 }[/math].