Erwartungswert

Gemäß dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments den Wahrscheinlichkeiten an. Der Erwartungswert ist das arithmetische Mittel mit Wahrscheinlichkeiten anstatt relativen Häufigkeiten und gibt daher den Durchschnittswert an, den man bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten kann.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ S=\{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math]. Für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] und die Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] sei [math]\displaystyle{ P(X=x_i) }[/math] die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ x_i }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math]. Dann ist [math]\displaystyle{ \mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n) }[/math] der Erwartungswert der Zufallsvariable.

Faires Spiel

Es sei [math]\displaystyle{ S=\{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math] der Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] und der Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit der Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(X=x_i) }[/math] des Ergebnisses [math]\displaystyle{ x_i }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math]. Hat das Zufallsexperiment zwei Teilnehmer und gilt für [math]\displaystyle{ X=x_i\lt 0 }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ X=x_i\geq 0 }[/math], dass ein Teilnehmer einen Verlust bzw. Gewinn in Höhe von [math]\displaystyle{ x_i }[/math] Geldeineiheiten erzielt hat, dann heißt das Zufallsexperiment Spiel. Ein Spiel heißt fair, wenn für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], Gewinn/Verlust in Geldeinheiten, [math]\displaystyle{ E(X)=0 }[/math] gilt.

Beispiele

Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf

Für das Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfes mit der Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], Anzahl von Zahl, und der Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P(X=0)=0,125 }[/math], [math]\displaystyle{ P(X=1)=0,375 }[/math], [math]\displaystyle{ P(X=2)=0,375 }[/math] und [math]\displaystyle{ P(X=3)=0,125 }[/math], wird der Erwartungswert durch [math]\displaystyle{ E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5 }[/math] berechnet.

Einfacher Münzwurf als faires Spiel

Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze, bei dem der Teilnehmer 1 Euro gewinnt, wenn die Münze Kopf zeigt, und 1 Euro verliert, wenn die Münze Zahl zeigt. Bei Zahl erhält der Anbieter den Euro. Wir betrachten das Spiel aus der Sicht des Teilnehmers.

Hierbei handelt es sich um ein Spiel, da es einen Teilnehmer und einen Anbieter des Spiels gibt. Das Spiel hat zwei mögliche Ergebnisse. Der Teilnehmer kann

• 1 Euro gewinnen, falls Kopf fällt (Wahrscheinlichkeit: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math])
• 1 Euro verlieren, falls Zahl fällt(Wahrscheinlichkeit: [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]).

Die Ergebnismenge ist also [math]\displaystyle{ S=\{1;-1\} }[/math]. Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], Gewinn in Euro, hat die Wahrscheinlichkeiten

• [math]\displaystyle{ P(X=1)=\frac{1}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X=-1)=\frac{1}{2} }[/math].

Der Erwartungswert berechnet sich durch [math]\displaystyle{ E(X)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0 }[/math]. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.