Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. September 2026, 08:17 Uhr

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge bei der Durchführung einer Bernoulli-Kette.

Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (traditionell als „Erfolg“ und „Misserfolg“ bezeichnet) heißt Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird mit [math]\displaystyle{ p }[/math] bezeichnet, die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg (Gegenwahrscheinlichkeit) mit [math]\displaystyle{ q = 1 - p }[/math]. Dabei gilt [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math].

Bernoulli-Kette

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment, das aus [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht (wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p }[/math] bei jeder Durchführung konstant bleibt), heißt Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n }[/math].

Definition

Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] mit der konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p }[/math] ([math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Die diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau [math]\displaystyle{ k }[/math] Erfolge:

[math]\displaystyle{ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} }[/math]

mit [math]\displaystyle{ k \in \{0, 1, \dots, n\} }[/math]. Die Funktion [math]\displaystyle{ P: \{0, 1, \dots, n\} \to [0; 1] }[/math] heißt Binomialverteilung mit den Parametern [math]\displaystyle{ n }[/math] und [math]\displaystyle{ p }[/math]. Für [math]\displaystyle{ P(X = k) }[/math] schreibt man auch [math]\displaystyle{ B_{n;p}(k) }[/math] oder [math]\displaystyle{ B(n; p; k) }[/math] und nennt [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable.

Der Term [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} }[/math] ist der Binomialkoeffizient („[math]\displaystyle{ n }[/math] über [math]\displaystyle{ k }[/math]“). Er gibt die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm an, die zu genau [math]\displaystyle{ k }[/math] Erfolgen führen.

Eigenschaften

Erwartungswert

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Dann ist:

[math]\displaystyle{ \mu = E(X) = n \cdot p }[/math]

der Erwartungswert von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Varianz

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Dann ist:

[math]\displaystyle{ \sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) }[/math]

die Varianz von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Standardabweichung

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Dann ist:

[math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} }[/math]

die Standardabweichung von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Histogramm

Im folgenden Video wird das Histogramm der Binomialverteilung erläutert.

Sigmaregeln

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Sofern die Laplace-Bedingung [math]\displaystyle{ \sigma \geq 3 }[/math] erfüllt ist, gelten folgende Näherungswerte:

[math]\displaystyle{ P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683 }[/math] ([math]\displaystyle{ 1\sigma }[/math]-Regel, ca. 68,3 %)
[math]\displaystyle{ P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}955 }[/math] ([math]\displaystyle{ 2\sigma }[/math]-Regel, ca. 95,5 %)
[math]\displaystyle{ P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 }[/math] ([math]\displaystyle{ 3\sigma }[/math]-Regel, ca. 99,7 %)
[math]\displaystyle{ P(\mu - 1{,}64\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}64\sigma) \approx 0{,}900 }[/math] (90-%-Regel)
[math]\displaystyle{ P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}950 }[/math] (95-%-Regel)
[math]\displaystyle{ P(\mu - 2{,}58\sigma \leq X \leq \mu + 2{,}58\sigma) \approx 0{,}990 }[/math] (99-%-Regel)

Diese Regeln können im Histogramm grafisch dargestellt werden.

Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten

Um Wahrscheinlichkeiten für eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] mit dem Taschenrechner (z. B. über die kumulierte Binomialverteilung) zu bestimmen, müssen die Wahrscheinlichkeiten auf die Form [math]\displaystyle{ P(X \leq k) }[/math] umgeformt werden. Für [math]\displaystyle{ k_1, k_2 \in \mathbb{N}_0 }[/math] mit [math]\displaystyle{ k_1 \leq k_2 }[/math] gelten die folgenden Regeln (siehe auch Größer-Kleiner-Zeichen):

[math]\displaystyle{ P(X = k_1) }[/math] kann mit dem Taschenrechner direkt berechnet werden (Einzelwahrscheinlichkeit)
[math]\displaystyle{ P(X \leq k_1) }[/math] kann mit dem Taschenrechner direkt berechnet werden (kumulierte Wahrscheinlichkeit)
[math]\displaystyle{ P(X < k_1) = P(X \leq k_1 - 1) }[/math]
[math]\displaystyle{ P(X > k_1) = 1 - P(X \leq k_1) }[/math]
[math]\displaystyle{ P(X \geq k_1) = 1 - P(X < k_1) = 1 - P(X \leq k_1 - 1) }[/math]
[math]\displaystyle{ P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) - P(X \leq k_1 - 1) }[/math]
[math]\displaystyle{ P(k_1 < X < k_2) = P(k_1 + 1 \leq X \leq k_2 - 1) = P(X \leq k_2 - 1) - P(X \leq k_1) }[/math]

Auslastungsmodell

Mittels der Formel:

[math]\displaystyle{ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot \left(\frac{m}{60}\right)^k \cdot \left(1 - \frac{m}{60}\right)^{n - k} }[/math]

lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N}_0 }[/math] von [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich [math]\displaystyle{ m \in [0; 60] }[/math] Minuten pro Stunde dauert, zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt gleichzeitig ausführen. Die Einzelwahrscheinlichkeit beträgt hierbei [math]\displaystyle{ p = \frac{m}{60} }[/math].

Beispiele

Bernoulli-Experiment einfacher Münzwurf

Das Zufallsexperiment des einfachen Münzwurfs mit den beiden Ergebnissen Zahl (Erfolg) und Kopf (Misserfolg) ist ein Bernoulli-Experiment. Die Ergebnismenge lautet [math]\displaystyle{ \Omega = \{\text{Zahl}, \text{Kopf}\} }[/math]. Für die Erfolgswahrscheinlichkeit gilt [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }[/math] (Zahl) und für die Gegenwahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} }[/math] (Kopf).

Bernoulli-Kette zweifacher Münzwurf

Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], da die beiden Durchführungen stochastisch unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit für Zahl mit [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }[/math] und für Kopf mit [math]\displaystyle{ q = \frac{1}{2} }[/math] konstant bleibt.

Binomialverteilung beim 20-maligen Werfen eines Würfels

Wir betrachten als Bernoulli-Kette das 20-malige Werfen eines fairen Würfels ([math]\displaystyle{ n = 20 }[/math]). Eine 6 zu würfeln bedeutet Erfolg, jede andere Augenzahl bedeutet Misserfolg. Das einmalige Werfen des Würfels ist ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{6} }[/math] und der Misserfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} }[/math]. Damit ist die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] (Häufigkeit der Augenzahl 6) eine [math]\displaystyle{ B_{20;\frac{1}{6}} }[/math]-verteilte Zufallsvariable.

Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen genau 3-mal eine 6 zu würfeln, beträgt:

[math]\displaystyle{ P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{20 - 3} = 1140 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{17} \approx 0{,}238 = 23{,}8\,\% }[/math]

Binomialverteilung beim dreifachen Münzwurf

Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs mit Wahrscheinlichkeiten

Eine Münze wird dreimal geworfen ([math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]) und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\} }[/math]

Da alle 8 Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, liegt ein Laplace-Experiment vor. Das Ereignis [math]\displaystyle{ E }[/math], genau zweimal Kopf zu werfen, umfasst die Ergebnisse [math]\displaystyle{ E = \{\mathrm{KKZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{ZKK}\} }[/math]. Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach:

[math]\displaystyle{ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\% }[/math]

Unter Anwendung der Formel der Binomialverteilung betrachten wir die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], welche die Anzahl der Erfolge (Kopf) angibt. Bei [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] und [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }[/math] ist [math]\displaystyle{ X }[/math] nach [math]\displaystyle{ B_{3;\frac{1}{2}} }[/math] verteilt. Gesucht ist [math]\displaystyle{ P(X = 2) }[/math]. Jeder Pfad besteht aus 3 Teilpfaden, wovon genau 2 zu Kopf führen müssen. Da die Anordnung der Erfolge eine Kombination ohne Wiederholung darstellt, gibt es insgesamt [math]\displaystyle{ \binom{3}{2} = 3 }[/math] günstige Pfade (siehe: Kombinatorik: Ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen).

Für jeden einzelnen dieser Pfade gilt nach der 1. Pfadregel: Zwei Teilpfade besitzen jeweils die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] für Zahl:

[math]\displaystyle{ P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{3 - 2} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0{,}375 }[/math]

[math]\displaystyle{ \binom{3}{2} = 3 }[/math] entspricht der Anzahl günstiger Pfade (genau zwei Erfolge bei 3 Versuchen).
[math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Erfolge (Kopf).
[math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^1 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg (Zahl).

Anwendung: Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und 95-%-Regel

Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen statistisch 25,5 % der deutschen Bevölkerung. An einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern dieser Altersgruppe rauchen 118 Jugendliche.

Betrachten wir die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] als Anzahl der rauchenden Personen in der Stichprobe, liegt unter Modellannahmen eine Bernoulli-Kette mit den Parametern [math]\displaystyle{ n = 640 }[/math] und [math]\displaystyle{ p = 0{,}255 }[/math] vor:

Erwartungswert: [math]\displaystyle{ \mu = E(X) = n \cdot p = 640 \cdot 0{,}255 = 163{,}2 }[/math]
Varianz: [math]\displaystyle{ \sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 640 \cdot 0{,}255 \cdot 0{,}745 = 121{,}584 }[/math]
Standardabweichung: [math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{121{,}584} \approx 11{,}03 }[/math]

Da [math]\displaystyle{ \sigma \approx 11{,}03 \geq 3 }[/math] ist, ist die Laplace-Bedingung erfüllt und die Sigmaregeln liefern hinreichend genaue Näherungswerte.

Einsetzen in die 95-%-Regel ([math]\displaystyle{ P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95 }[/math]):

[math]\displaystyle{ P(163{,}2 - 1{,}96 \cdot 11{,}03 \leq X \leq 163{,}2 + 1{,}96 \cdot 11{,}03) \approx 0{,}95 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(163{,}2 - 21{,}62 \leq X \leq 163{,}2 + 21{,}62) \approx 0{,}95 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(141{,}58 \leq X \leq 184{,}82) \approx 0{,}95 }[/math]

Für ganzzahlige Anzahlen von Personen ergibt sich somit das 95-%-Prognoseintervall:

[math]\displaystyle{ P(142 \leq X \leq 184) \approx 0{,}95 }[/math]

Interpretation: Unter der Annahme einer bundesweiten Raucherquote von 25,5 % ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zu erwarten, dass an der Schule zwischen 142 und 184 Schülerinnen und Schüler rauchen. Die tatsächliche Anzahl von 118 Rauchenden liegt mit mehr als [math]\displaystyle{ 4\sigma }[/math] unter dem Erwartungswert ([math]\displaystyle{ \frac{163{,}2 - 118}{11{,}03} \approx 4{,}1 }[/math]) und damit deutlich außerhalb des Intervalls. Dies lässt darauf schließen, dass der Anteil rauchender Jugendlicher an dieser Schule signifikant unter dem Bundesdurchschnitt liegt.

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-Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Bernoulli-Kette.
+Die '''Binomialverteilung''' ist eine der wichtigsten diskreten [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge bei der Durchführung einer [[#Bernoulli-Kette|Bernoulli-Kette]].
 ==Bernoulli-Experiment==
-Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit <math>p</math> und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit <math>q=1-p</math> bezeichnet. Dabei gilt <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>.
+Ein [[Zufallsexperiment]] mit genau zwei möglichen Ergebnissen (traditionell als „Erfolg“ und „Misserfolg“ bezeichnet) heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird mit <math>p</math> bezeichnet, die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg (Gegenwahrscheinlichkeit) mit <math>q = 1 - p</math>. Dabei gilt <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq p \leq 1</math>.
 ==Bernoulli-Kette==
-Ein Zufallsexperiment, das aus <math>n\in\mathbb{N}</math> unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, heißt '''Bernoulli-Kette''' der Länge <math>n</math>.
+Ein mehrstufiges Zufallsexperiment, das aus <math>n \in \mathbb{N}</math> unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht (wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> bei jeder Durchführung konstant bleibt), heißt '''Bernoulli-Kette''' der Länge <math>n</math>.
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 ==Definition==
-Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> oder <math>B(n;p;k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]].
+Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math> mit der konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> (<math>p \in \mathbb{R}</math> mit <math>0 \leq p \leq 1</math>). Die diskrete [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge:
+<math>P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}</math>
+mit <math>k \in \{0, 1, \dots, n\}</math>. Die Funktion <math>P: \{0, 1, \dots, n\} \to [0; 1]</math> heißt '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X = k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> oder <math>B(n; p; k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''.
+Der Term <math>\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]] („<math>n</math> über <math>k</math>“). Er gibt die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm an, die zu genau <math>k</math> Erfolgen führen.
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 ==Eigenschaften==
 ===Erwartungswert===
-Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\mu=E(X)=n\cdot p</math> der [[Erwartungswert]] <math>X</math>.
+Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>p \in \mathbb{R}</math> (<math>0 \leq p \leq 1</math>). Dann ist:
+<math>\mu = E(X) = n \cdot p</math>
+der [[Erwartungswert]] von <math>X</math>.
 ===Varianz===
-Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma^2=V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)</math> die [[Varianz_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Varianz]] von <math>X</math>.
+Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>p \in \mathbb{R}</math> (<math>0 \leq p \leq 1</math>). Dann ist:
+<math>\sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)</math>
+die [[Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Varianz]] von <math>X</math>.
 ===Standardabweichung===
-Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math> die [[Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Standardabweichung]] von <math>X</math>.
+Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>p \in \mathbb{R}</math> (<math>0 \leq p \leq 1</math>). Dann ist:
+<math>\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}</math>
+die Standardabweichung von <math>X</math>.
 ===Histogramm===
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 ==Sigmaregeln==
-Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann gilt
+Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>p \in \mathbb{R}</math> (<math>0 \leq p \leq 1</math>). Sofern die Laplace-Bedingung <math>\sigma \geq 3</math> erfüllt ist, gelten folgende Näherungswerte:
-*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,683</math> <math>1\sigma</math>-Regel
-*<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel
+*<math>P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683</math> (<math>1\sigma</math>-Regel, ca. 68,3 %)
-*<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>
+*<math>P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}955</math> (<math>2\sigma</math>-Regel, ca. 95,5 %)
-*<math>P\left(\mu-1,64\sigma\leq X\leq\mu+1,64\sigma\right)\approx0,9</math> 90%-Regel
+*<math>P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997</math> (<math>3\sigma</math>-Regel, ca. 99,7 %)
-*<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel
+*<math>P(\mu - 1{,}64\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}64\sigma) \approx 0{,}900</math> (90-%-Regel)
-*<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel
+*<math>P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}950</math> (95-%-Regel)
+*<math>P(\mu - 2{,}58\sigma \leq X \leq \mu + 2{,}58\sigma) \approx 0{,}990</math> (99-%-Regel)
-Diese Regeln können im [[Histogramm#Histogramm_der_Binomialverteilung|Histogramm]] grafisch dargestellt werden.
+Diese Regeln können im [[Histogramm#Histogramm der Binomialverteilung|Histogramm]] grafisch dargestellt werden.
 ==Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten==
-Um Wahrscheinlichkeiten für eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] <math>X</math> mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten gemäß den folgenden Regeln umgeformt werden. Dabei gilt <math>k_1,~k_2 \in \mathbb{N}</math>. (Siehe auch [[Wahrscheinlichkeitsverteilung#Schreibweisen_f%C3%BCr_Wahrscheinlichkeiten|Größer-Kleiner-Zeichen]]):
+Um Wahrscheinlichkeiten für eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] <math>X</math> mit dem [[Taschenrechner verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] (z. B. über die kumulierte Binomialverteilung) zu bestimmen, müssen die Wahrscheinlichkeiten auf die Form <math>P(X \leq k)</math> umgeformt werden. Für <math>k_1, k_2 \in \mathbb{N}_0</math> mit <math>k_1 \leq k_2</math> gelten die folgenden Regeln (siehe auch [[Wahrscheinlichkeitsverteilung#Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten|Größer-Kleiner-Zeichen]]):
-*<math>P(X= k_1)</math> kann mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] direkt berechnet werden
-*<math>P(X\leq k_1)</math> kann mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] direkt berechnet werden
+*<math>P(X = k_1)</math> kann mit dem [[Taschenrechner verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] direkt berechnet werden (Einzelwahrscheinlichkeit)
-*<math>P(X< k_1)=P(X\leq (k_1-1))</math>
+*<math>P(X \leq k_1)</math> kann mit dem [[Taschenrechner verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] direkt berechnet werden (kumulierte Wahrscheinlichkeit)
-*<math>P(X> k_1)=1-P(X\leq k_1)</math>
+*<math>P(X < k_1) = P(X \leq k_1 - 1)</math>
-*<math>P(X\geq k_1)=1-P(X< k_1)=1-P(X\leq (k_1-1))</math>
+*<math>P(X > k_1) = 1 - P(X \leq k_1)</math>
-*<math>P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(X\leq k_2)-P(X\leq (k_1-1))</math>
+*<math>P(X \geq k_1) = 1 - P(X < k_1) = 1 - P(X \leq k_1 - 1)</math>
-*<math>P(k_1 < X < k_2)=P((k_1+1) \leq X \leq (k_2-1))=P(X\leq (k_2-1))-P(X\leq k_1)</math>
+*<math>P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) - P(X \leq k_1 - 1)</math>
+*<math>P(k_1 < X < k_2) = P(k_1 + 1 \leq X \leq k_2 - 1) = P(X \leq k_2 - 1) - P(X \leq k_1)</math>
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/voPP8Z7jGsA?si=jSxTL6FH6qnIPSq7" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/EPzXRrErLaM?si=L8btUsbwukYRyZJA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-==Auslastungmodell==
+==Auslastungsmodell==
-Mittels der Formel <math>P(X=k) = {n \choose k}\cdot\left(\frac{m}{60}\right)^k\cdot\left(1-\frac{m}{60}\right)^{n-k}</math> lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass <math>k \in \mathbb{N}</math> von <math>n\in \mathbb{N}</math> Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich <math>m \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> Minuten pro Stunde dauert, gleichzeitig ausführen.
+Mittels der Formel:
+<math>P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot \left(\frac{m}{60}\right)^k \cdot \left(1 - \frac{m}{60}\right)^{n - k}</math>
+lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass <math>k \in \mathbb{N}_0</math> von <math>n \in \mathbb{N}</math> Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich <math>m \in [0; 60]</math> Minuten pro Stunde dauert, zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt gleichzeitig ausführen. Die Einzelwahrscheinlichkeit beträgt hierbei <math>p = \frac{m}{60}</math>.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/dkrErCbQ6Bw?si=euhahtXHnZI9Rf3O" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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 ==Beispiele==
 ===Bernoulli-Experiment einfacher Münzwurf===
-Das [[Zufallsexperiment]] des einfachen Münzwurfes mit Zahl (Erfolg) oder Kopf (Misserfolg) als Ergebnis ist ein Bernoulli-Experiment. Für die Erfolgswahrscheinlichkeit gilt <math>p=\frac{1}{2}</math> (Zahl) und für die Misserfolgswahrscheinlichkeit gilt <math>q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math> (Kopf).
+Das [[Zufallsexperiment]] des einfachen Münzwurfs mit den beiden Ergebnissen Zahl (Erfolg) und Kopf (Misserfolg) ist ein Bernoulli-Experiment. Die Ergebnismenge lautet <math>\Omega = \{\text{Zahl}, \text{Kopf}\}</math>. Für die Erfolgswahrscheinlichkeit gilt <math>p = \frac{1}{2}</math> (Zahl) und für die Gegenwahrscheinlichkeit <math>q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}</math> (Kopf).
 ===Bernoulli-Kette zweifacher Münzwurf===
-Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette, da die Durchführungen unabhängig voneinander sind. D. h. bei jedem Münzwurf bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl <math>p=\frac{1}{2}</math> und für Kopf <math>q=\frac{1}{2}</math>.
+Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n = 2</math>, da die beiden Durchführungen stochastisch unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit für Zahl mit <math>p = \frac{1}{2}</math> und für Kopf mit <math>q = \frac{1}{2}</math> konstant bleibt.
 ===Binomialverteilung beim 20-maligen Werfen eines Würfels===
-Wir betrachten die Bernoulli-Kette 20-maliges werfen eines Würfels. Eine 6 zu würfeln bedeutet Erfolg und jede andere Zahl bedeutet Misserfolg. Das einmalige Werfen des Würfels ist ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p=\frac{1}{6}</math> und der Misserfolgswahrscheinlichkeit <math>q=\frac{5}{6}</math>. Damit ist <math>X</math>, Häufigkeit der Augenzahl 6, eine <math>B_{20;\frac{1}{6}}</math>-verteilte Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen eines Würfels genau 3-mal die 6 zu würfeln, beträgt <math>P(X=3)=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot(1-\frac{1}{6})^{(20-3)}=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot{\frac{5}{6}}^{17}\approx0,238</math>.
+Wir betrachten als Bernoulli-Kette das 20-malige Werfen eines fairen Würfels (<math>n = 20</math>). Eine 6 zu würfeln bedeutet Erfolg, jede andere Augenzahl bedeutet Misserfolg. Das einmalige Werfen des Würfels ist ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p = \frac{1}{6}</math> und der Misserfolgswahrscheinlichkeit <math>q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}</math>. Damit ist die Zufallsvariable <math>X</math> (Häufigkeit der Augenzahl 6) eine <math>B_{20;\frac{1}{6}}</math>-verteilte Zufallsvariable.
+Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen genau 3-mal eine 6 zu würfeln, beträgt:
+<math>P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{20 - 3} = 1140 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{17} \approx 0{,}238 = 23{,}8\,\%</math>
 ===Binomialverteilung beim dreifachen Münzwurf===
 [[Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungDreiMünzWahr.png|mini|Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs mit Wahrscheinlichkeiten]]
-Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] ist <math>S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\}</math>. Da ein [[Laplace-Experiment]] vorliegt, beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] genau zweimal Kopf zu werfen <math>P(E)=\frac{3}{8}=0,375</math> mit <math>E=\{KKZ;KZK;ZKK\}</math>. Wir wenden die Binomialverteilung wie folgt an:
+Eine Münze wird dreimal geworfen (<math>n = 3</math>) und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] ist:
+<math>\Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\}</math>
+Da alle 8 Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, liegt ein [[Laplace-Experiment]] vor. Das Ereignis <math>E</math>, genau zweimal Kopf zu werfen, umfasst die Ergebnisse <math>E = \{\mathrm{KKZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{ZKK}\}</math>. Die [[Wahrscheinlichkeit]] beträgt demnach:
+<math>P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%</math>
+Unter Anwendung der Formel der Binomialverteilung betrachten wir die Zufallsvariable <math>X</math>, welche die Anzahl der Erfolge (Kopf) angibt. Bei <math>n = 3</math> und <math>p = \frac{1}{2}</math> ist <math>X</math> nach <math>B_{3;\frac{1}{2}}</math> verteilt. Gesucht ist <math>P(X = 2)</math>. Jeder [[Baumdiagramm#Definition|Pfad]] besteht aus 3 [[Baumdiagramm#Definition|Teilpfaden]], wovon genau 2 zu Kopf führen müssen. Da die Anordnung der Erfolge eine Kombination ohne Wiederholung darstellt, gibt es insgesamt <math>\binom{3}{2} = 3</math> günstige Pfade (siehe: [[Kombinatorik#Anzahl möglicher Ergebnisse bei einem Zufallsexperiment ermitteln|Kombinatorik: Ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen]]).
+Für jeden einzelnen dieser Pfade gilt nach der 1. Pfadregel: Zwei Teilpfade besitzen jeweils die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{2}</math> für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{2}</math> für Zahl:
+<math>P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{3 - 2} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0{,}375</math>
+*<math>\binom{3}{2} = 3</math> entspricht der Anzahl günstiger Pfade (genau zwei Erfolge bei 3 Versuchen).
+*<math>\left(\frac{1}{2}\right)^2</math> ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Erfolge (Kopf).
+*<math>\left(\frac{1}{2}\right)^1</math> ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg (Zahl).
+===Anwendung: Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und 95-%-Regel===
+Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen statistisch 25,5 % der deutschen Bevölkerung. An einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern dieser Altersgruppe rauchen 118 Jugendliche.
-Wir betrachten die <math>B_{3;\frac{1}{2}}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, die die Häufigkeit von Kopf angibt, und wollen <math>P(X=2)</math> bestimmen. Jeder [[Baumdiagramm#Definition|Pfad]] der Bernoulli-Kette besteht aus insgesamt 3 [[Baumdiagramm#Definition|Teilpfade]], wovon genau 2 Teilpfade zu Kopf führen müssen. Da die Reihenfolge der Teilpfade keine Rolle spielen und ein Teilpfad nicht doppelt vorkommen darf, gibt es insgesamt <math>\binom{3}{2}=3</math> mögliche Pfade (Siehe: [[Kombinatorik#Anzahl_m%C3%B6glicher_Ergebnisse_bei_einem_Zufallsexperiment_ermitteln|Ohne Beachtung der Reihenfolge, Ohne Zurücklegen]]). Für jeden Pfad gilt: Zwei Teilpfade besitzen jeweils die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{2}</math> für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{2}</math> für Zahl. Es gilt also:
+Betrachten wir die Zufallsvariable <math>X</math> als Anzahl der rauchenden Personen in der Stichprobe, liegt unter Modellannahmen eine Bernoulli-Kette mit den Parametern <math>n = 640</math> und <math>p = 0{,}255</math> vor:
-<math>P(X=2)=\binom{3}{2}\cdot{\frac{1}{2}}^2\cdot(1-\frac{1}{2})^{(3-2)}=3\cdot{\frac{1}{2}}^2\cdot{\frac{1}{2}}^1=3\cdot0,125=0,375</math>
+*'''Erwartungswert:''' <math>\mu = E(X) = n \cdot p = 640 \cdot 0{,}255 = 163{,}2</math>
+*'''Varianz:''' <math>\sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 640 \cdot 0{,}255 \cdot 0{,}745 = 121{,}584</math>
+*'''Standardabweichung:''' <math>\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{121{,}584} \approx 11{,}03</math>
-<math>\binom{3}{2}</math> ist gleichbedeutend mit „wir erhalten genau zwei Erfolge (Kopf) aus insgesamt 3 Würfen“. <math>(\frac{1}{2})^2</math> ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Erfolg (Kopf) und <math>(\frac{1}{2})^1</math> ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Misserfolg  (Zahl).
+Da <math>\sigma \approx 11{,}03 \geq 3</math> ist, ist die Laplace-Bedingung erfüllt und die Sigmaregeln liefern hinreichend genaue Näherungswerte.
-===Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und 95% Regeln anwenden===
+Einsetzen in die 95-%-Regel (<math>P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95</math>):
-Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen 25,5% der deutschen Bevölkerung. In einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern in diesem Alter rauchen 118 Schülerinnen und Schüler.
-Betrachten wir die Zufallsvariable <math>X</math>, Anzahl rauchende 15-20-Jährige in der Schule, dann liegt eine Bernoulli-Kette mit <math>n=640</math> und <math>p=0,255</math> vor. Der Erwartungswert beträgt <math>\mu=E(X)=640 \cdot 0,255=163,2</math> und die Varianz ist <math>\sigma^2=V(X)=640\cdot0,255\cdot0,745=121,584</math>. Die Standardabweichung ist also <math>\sigma\approx\ 11</math>. Die Anzahl der rauchenden Schülerinnen und Schülern der Schule liegt mit 118 unter der erwarteten Anzahl von ungefähr <math>\mu=163</math> und sogar unter <math>163-11=152</math>, wenn die erwartete Abweichung von <math>\sigma \approx 11</math> berücksichtigt wird.
+<math>P(163{,}2 - 1{,}96 \cdot 11{,}03 \leq X \leq 163{,}2 + 1{,}96 \cdot 11{,}03) \approx 0{,}95</math>
-Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die 95%-Regel ein und erhalten
+<math>P(163{,}2 - 21{,}62 \leq X \leq 163{,}2 + 21{,}62) \approx 0{,}95</math>
-<math>P\left(163,2-1,96\cdot11,03\leq X\le163+1,96\cdot11,03\right)\approx0,95</math>
+<math>P(141{,}58 \leq X \leq 184{,}82) \approx 0{,}95</math>
-<math>P\left(141,6\le X\le184,8\right)\approx0,95</math>
+Für ganzzahlige Anzahlen von Personen ergibt sich somit das 95-%-Prognoseintervall:
-Legen wir zugrunde, dass ein Schüler oder eine Schülerin mit einer Wahrscheinlichkeit von 25,5% Raucher oder Raucherin ist, dann sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 142 und 184 Raucherinnen und Raucher an der Schule.
+<math>P(142 \leq X \leq 184) \approx 0{,}95</math>
+'''Interpretation:'''
+Unter der Annahme einer bundesweiten Raucherquote von 25,5 % ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zu erwarten, dass an der Schule zwischen 142 und 184 Schülerinnen und Schüler rauchen. Die tatsächliche Anzahl von 118 Rauchenden liegt mit mehr als <math>4\sigma</math> unter dem Erwartungswert (<math>\frac{163{,}2 - 118}{11{,}03} \approx 4{,}1</math>) und damit deutlich außerhalb des Intervalls. Dies lässt darauf schließen, dass der Anteil rauchender Jugendlicher an dieser Schule signifikant unter dem Bundesdurchschnitt liegt.
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-[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
+[[Kategorie:FHR WuV Mathe]]
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Aktuelle Version vom 28. September 2026, 08:17 Uhr

Bernoulli-Experiment

Bernoulli-Kette

Definition

Eigenschaften

Erwartungswert

Varianz

Standardabweichung

Histogramm

Sigmaregeln

Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten

Auslastungsmodell

Beispiele

Bernoulli-Experiment einfacher Münzwurf

Bernoulli-Kette zweifacher Münzwurf

Binomialverteilung beim 20-maligen Werfen eines Würfels

Binomialverteilung beim dreifachen Münzwurf

Anwendung: Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und 95-%-Regel