Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge bei der Durchführung einer Bernoulli-Kette.

Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (traditionell als „Erfolg“ und „Misserfolg“ bezeichnet) heißt Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird mit [math]\displaystyle{ p }[/math] bezeichnet, die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg (Gegenwahrscheinlichkeit) mit [math]\displaystyle{ q = 1 - p }[/math]. Dabei gilt [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math].

Bernoulli-Kette

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment, das aus [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht (wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p }[/math] bei jeder Durchführung konstant bleibt), heißt Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n }[/math].

Definition

Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] mit der konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p }[/math] ([math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Die diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau [math]\displaystyle{ k }[/math] Erfolge:

[math]\displaystyle{ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} }[/math]

mit [math]\displaystyle{ k \in \{0, 1, \dots, n\} }[/math]. Die Funktion [math]\displaystyle{ P: \{0, 1, \dots, n\} \to [0; 1] }[/math] heißt Binomialverteilung mit den Parametern [math]\displaystyle{ n }[/math] und [math]\displaystyle{ p }[/math]. Für [math]\displaystyle{ P(X = k) }[/math] schreibt man auch [math]\displaystyle{ B_{n;p}(k) }[/math] oder [math]\displaystyle{ B(n; p; k) }[/math] und nennt [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable.

Der Term [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} }[/math] ist der Binomialkoeffizient („[math]\displaystyle{ n }[/math] über [math]\displaystyle{ k }[/math]“). Er gibt die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm an, die zu genau [math]\displaystyle{ k }[/math] Erfolgen führen.

Eigenschaften

Erwartungswert

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Dann ist:

[math]\displaystyle{ \mu = E(X) = n \cdot p }[/math]

der Erwartungswert von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Varianz

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Dann ist:

[math]\displaystyle{ \sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) }[/math]

die Varianz von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Standardabweichung

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Dann ist:

[math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} }[/math]

die Standardabweichung von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Histogramm

Im folgenden Video wird das Histogramm der Binomialverteilung erläutert.

Sigmaregeln

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] ([math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]). Sofern die Laplace-Bedingung [math]\displaystyle{ \sigma \geq 3 }[/math] erfüllt ist, gelten folgende Näherungswerte:

• [math]\displaystyle{ P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683 }[/math] ([math]\displaystyle{ 1\sigma }[/math]-Regel, ca. 68,3 %)
• [math]\displaystyle{ P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}955 }[/math] ([math]\displaystyle{ 2\sigma }[/math]-Regel, ca. 95,5 %)
• [math]\displaystyle{ P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 }[/math] ([math]\displaystyle{ 3\sigma }[/math]-Regel, ca. 99,7 %)
• [math]\displaystyle{ P(\mu - 1{,}64\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}64\sigma) \approx 0{,}900 }[/math] (90-%-Regel)
• [math]\displaystyle{ P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}950 }[/math] (95-%-Regel)
• [math]\displaystyle{ P(\mu - 2{,}58\sigma \leq X \leq \mu + 2{,}58\sigma) \approx 0{,}990 }[/math] (99-%-Regel)

Diese Regeln können im Histogramm grafisch dargestellt werden.

Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten

Um Wahrscheinlichkeiten für eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] mit dem Taschenrechner (z. B. über die kumulierte Binomialverteilung) zu bestimmen, müssen die Wahrscheinlichkeiten auf die Form [math]\displaystyle{ P(X \leq k) }[/math] umgeformt werden. Für [math]\displaystyle{ k_1, k_2 \in \mathbb{N}_0 }[/math] mit [math]\displaystyle{ k_1 \leq k_2 }[/math] gelten die folgenden Regeln (siehe auch Größer-Kleiner-Zeichen):

• [math]\displaystyle{ P(X = k_1) }[/math] kann mit dem Taschenrechner direkt berechnet werden (Einzelwahrscheinlichkeit)
• [math]\displaystyle{ P(X \leq k_1) }[/math] kann mit dem Taschenrechner direkt berechnet werden (kumulierte Wahrscheinlichkeit)
• [math]\displaystyle{ P(X < k_1) = P(X \leq k_1 - 1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X > k_1) = 1 - P(X \leq k_1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X \geq k_1) = 1 - P(X < k_1) = 1 - P(X \leq k_1 - 1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) - P(X \leq k_1 - 1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(k_1 < X < k_2) = P(k_1 + 1 \leq X \leq k_2 - 1) = P(X \leq k_2 - 1) - P(X \leq k_1) }[/math]

Auslastungsmodell

Mittels der Formel:

[math]\displaystyle{ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot \left(\frac{m}{60}\right)^k \cdot \left(1 - \frac{m}{60}\right)^{n - k} }[/math]

lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N}_0 }[/math] von [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich [math]\displaystyle{ m \in [0; 60] }[/math] Minuten pro Stunde dauert, zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt gleichzeitig ausführen. Die Einzelwahrscheinlichkeit beträgt hierbei [math]\displaystyle{ p = \frac{m}{60} }[/math].

Beispiele

Bernoulli-Experiment einfacher Münzwurf

Das Zufallsexperiment des einfachen Münzwurfs mit den beiden Ergebnissen Zahl (Erfolg) und Kopf (Misserfolg) ist ein Bernoulli-Experiment. Die Ergebnismenge lautet [math]\displaystyle{ \Omega = \{\text{Zahl}, \text{Kopf}\} }[/math]. Für die Erfolgswahrscheinlichkeit gilt [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }[/math] (Zahl) und für die Gegenwahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} }[/math] (Kopf).

Bernoulli-Kette zweifacher Münzwurf

Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], da die beiden Durchführungen stochastisch unabhängig voneinander sind. Das bedeutet, dass bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit für Zahl mit [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }[/math] und für Kopf mit [math]\displaystyle{ q = \frac{1}{2} }[/math] konstant bleibt.

Binomialverteilung beim 20-maligen Werfen eines Würfels

Wir betrachten als Bernoulli-Kette das 20-malige Werfen eines fairen Würfels ([math]\displaystyle{ n = 20 }[/math]). Eine 6 zu würfeln bedeutet Erfolg, jede andere Augenzahl bedeutet Misserfolg. Das einmalige Werfen des Würfels ist ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{6} }[/math] und der Misserfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} }[/math]. Damit ist die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] (Häufigkeit der Augenzahl 6) eine [math]\displaystyle{ B_{20;\frac{1}{6}} }[/math]-verteilte Zufallsvariable.

Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen genau 3-mal eine 6 zu würfeln, beträgt:

[math]\displaystyle{ P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{20 - 3} = 1140 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{17} \approx 0{,}238 = 23{,}8\,\% }[/math]

Binomialverteilung beim dreifachen Münzwurf

Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs mit Wahrscheinlichkeiten

Eine Münze wird dreimal geworfen ([math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]) und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\} }[/math]

Da alle 8 Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, liegt ein Laplace-Experiment vor. Das Ereignis [math]\displaystyle{ E }[/math], genau zweimal Kopf zu werfen, umfasst die Ergebnisse [math]\displaystyle{ E = \{\mathrm{KKZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{ZKK}\} }[/math]. Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach:

[math]\displaystyle{ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\% }[/math]

Unter Anwendung der Formel der Binomialverteilung betrachten wir die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], welche die Anzahl der Erfolge (Kopf) angibt. Bei [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] und [math]\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }[/math] ist [math]\displaystyle{ X }[/math] nach [math]\displaystyle{ B_{3;\frac{1}{2}} }[/math] verteilt. Gesucht ist [math]\displaystyle{ P(X = 2) }[/math]. Jeder Pfad besteht aus 3 Teilpfaden, wovon genau 2 zu Kopf führen müssen. Da die Anordnung der Erfolge eine Kombination ohne Wiederholung darstellt, gibt es insgesamt [math]\displaystyle{ \binom{3}{2} = 3 }[/math] günstige Pfade (siehe: Kombinatorik: Ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen).

Für jeden einzelnen dieser Pfade gilt nach der 1. Pfadregel: Zwei Teilpfade besitzen jeweils die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] für Zahl:

[math]\displaystyle{ P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{3 - 2} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = 0{,}375 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \binom{3}{2} = 3 }[/math] entspricht der Anzahl günstiger Pfade (genau zwei Erfolge bei 3 Versuchen).
• [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Erfolge (Kopf).
• [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^1 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg (Zahl).

Anwendung: Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und 95-%-Regel

Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen statistisch 25,5 % der deutschen Bevölkerung. An einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern dieser Altersgruppe rauchen 118 Jugendliche.

Betrachten wir die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] als Anzahl der rauchenden Personen in der Stichprobe, liegt unter Modellannahmen eine Bernoulli-Kette mit den Parametern [math]\displaystyle{ n = 640 }[/math] und [math]\displaystyle{ p = 0{,}255 }[/math] vor:

• Erwartungswert: [math]\displaystyle{ \mu = E(X) = n \cdot p = 640 \cdot 0{,}255 = 163{,}2 }[/math]
• Varianz: [math]\displaystyle{ \sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 640 \cdot 0{,}255 \cdot 0{,}745 = 121{,}584 }[/math]
• Standardabweichung: [math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{121{,}584} \approx 11{,}03 }[/math]

Da [math]\displaystyle{ \sigma \approx 11{,}03 \geq 3 }[/math] ist, ist die Laplace-Bedingung erfüllt und die Sigmaregeln liefern hinreichend genaue Näherungswerte.

Einsetzen in die 95-%-Regel ([math]\displaystyle{ P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95 }[/math]):

[math]\displaystyle{ P(163{,}2 - 1{,}96 \cdot 11{,}03 \leq X \leq 163{,}2 + 1{,}96 \cdot 11{,}03) \approx 0{,}95 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(163{,}2 - 21{,}62 \leq X \leq 163{,}2 + 21{,}62) \approx 0{,}95 }[/math]

[math]\displaystyle{ P(141{,}58 \leq X \leq 184{,}82) \approx 0{,}95 }[/math]

Für ganzzahlige Anzahlen von Personen ergibt sich somit das 95-%-Prognoseintervall:

[math]\displaystyle{ P(142 \leq X \leq 184) \approx 0{,}95 }[/math]

Interpretation: Unter der Annahme einer bundesweiten Raucherquote von 25,5 % ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % zu erwarten, dass an der Schule zwischen 142 und 184 Schülerinnen und Schüler rauchen. Die tatsächliche Anzahl von 118 Rauchenden liegt mit mehr als [math]\displaystyle{ 4\sigma }[/math] unter dem Erwartungswert ([math]\displaystyle{ \frac{163{,}2 - 118}{11{,}03} \approx 4{,}1 }[/math]) und damit deutlich außerhalb des Intervalls. Dies lässt darauf schließen, dass der Anteil rauchender Jugendlicher an dieser Schule signifikant unter dem Bundesdurchschnitt liegt.