Gewinnfunktion
Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.
Definition
Eine Funktion [math]\displaystyle{ G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G }[/math], die jeder Produktionsmenge [math]\displaystyle{ x }[/math] den Gewinn [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] zuordnet, heißt Gewinnfunktion. Dabei ist [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;x_{\text{max}}] }[/math], wobei [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math] der ökonomische Definitionsbereich und [math]\displaystyle{ x_{\text{max}} \in\ \mathbb{R} }[/math] die Kapazitätsgrenze ist.
Die Variable [math]\displaystyle{ x }[/math] ist häufig in ME (Mengeneinheiten) und [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] in GE (Geldeinheiten) gegeben. Die Gewinnfunktion ist definiert als die Differenz aus der Erlösfunktion und der Kostenfunktion:
[math]\displaystyle{ G(x) = E(x) - K(x) }[/math]
Video-Einführung zur Gewinnfunktion auf YouTube
Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone
Es sei [math]\displaystyle{ G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G }[/math] eine Gewinnfunktion.
- Die Gewinnschwelle [math]\displaystyle{ x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math] ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist.
- Die Gewinngrenze [math]\displaystyle{ x_g \in \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math] ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist.
- In der Gewinnzone, dem Intervall [math]\displaystyle{ [x_s; x_g] }[/math], liegen die Produktionsmengen, für die das Unternehmen einen Gewinn erzielt (der Gewinn ist nicht negativ).
Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden berechnet, indem man den Erlös den Kosten gleichsetzt ([math]\displaystyle{ E(x) = K(x) }[/math]) oder die Gewinnfunktion gleich null setzt ([math]\displaystyle{ G(x) = 0 }[/math]). Sie sind also die Nullstellen der Gewinnfunktion.
Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen
Für eine lineare Gewinnfunktion [math]\displaystyle{ G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G }[/math] mit der Gewinnschwelle [math]\displaystyle{ x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math] heißt der Punkt [math]\displaystyle{ BEP(x_s | E(x_s)) }[/math] der Break-Even-Point. Dies ist der Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.
Gewinnmaximum
Es sei [math]\displaystyle{ G:\mathbb{D}_{\text{ök}} \rightarrow \mathbb{W}_G }[/math] eine Gewinnfunktion. Das globale Maximum [math]\displaystyle{ G(x_0) }[/math] von [math]\displaystyle{ G }[/math] heißt Gewinnmaximum. Die dazugehörige Maximalstelle [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math] heißt gewinnmaximale Ausbringungsmenge.
Beispiele
Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die variablen Stückkosten betragen 30 € pro Fahrrad. Die produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die Kapazitätsgrenze beträgt 40 Stück. Wir analysieren im Folgenden die Gewinnsituation.
Gewinnfunktion herleiten
Für die Kostenfunktion gilt [math]\displaystyle{ K(x) = 30x + 2700 }[/math] mit [math]\displaystyle{ K_v = 30 }[/math] und [math]\displaystyle{ K_f = 2700 }[/math]. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist [math]\displaystyle{ E_v(x) = 300 }[/math] und die Erlösfunktion ist [math]\displaystyle{ E(x) = 300x }[/math].
Die Gewinnfunktion wird berechnet durch: [math]\displaystyle{ G(x) = E(x) - K(x) }[/math] [math]\displaystyle{ G(x) = 300x - (30x + 2700) }[/math] [math]\displaystyle{ G(x) = 270x - 2700 }[/math]
Gewinn berechnen
Der Gewinn für die Auslastung an der Kapazitätsgrenze ([math]\displaystyle{ x = 40 }[/math]) beträgt: [math]\displaystyle{ G(40) = 270 \cdot 40 - 2700 = 10800 - 2700 = 8100 }[/math] €
Gewinnschwelle berechnen
Wir setzen die Gewinnfunktion gleich null:
[math]\displaystyle{ G(x) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 270x - 2700 = 0 \quad | +2700 }[/math] [math]\displaystyle{ 270x = 2700 \quad | :270 }[/math] [math]\displaystyle{ x = 10 }[/math]
Die Gewinnschwelle beträgt [math]\displaystyle{ x_s = 10 }[/math] Fahrräder.
Alternativ können wir die Erlösfunktion und die Kostenfunktion gleichsetzen, um die Gewinnschwelle zu berechnen:
[math]\displaystyle{ E(x) = K(x) }[/math] [math]\displaystyle{ 300x = 30x + 2700 \quad | -30x }[/math] [math]\displaystyle{ 270x = 2700 \quad | :270 }[/math] [math]\displaystyle{ x = 10 }[/math]
Break-Even-Point berechnen
Um den entsprechenden Erlös/Kosten-Wert zu erhalten, setzen wir die Gewinnschwelle in die Erlösfunktion ein: [math]\displaystyle{ E(10) = 300 \cdot 10 = 3000 }[/math]
Der Break-Even-Point ist damit [math]\displaystyle{ BEP(10 | 3000) }[/math]. Werden 10 ME produziert, sind die Kosten und der Erlös gleich hoch und betragen jeweils 3000 €.
Eine ganzrationale Gewinnfunktion dritten Grades herleiten und analysieren
Die variable Kostenfunktion für ein Produkt ist durch [math]\displaystyle{ K_v(x) = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x }[/math] gegeben. Die Fixkosten betragen 20 GE. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 32,8 GE.
Gewinnfunktion herleiten
Die Erlösfunktion, die Kostenfunktion und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:
[math]\displaystyle{ E(x) = 32,8x }[/math] [math]\displaystyle{ K(x) = K_v(x) + K_f = 0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ G(x) = E(x) - K(x) }[/math] [math]\displaystyle{ G(x) = 32,8x - (0,2x^3 - 4x^2 + 30x + 20) }[/math] [math]\displaystyle{ G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 32,8x - 30x - 20 }[/math] [math]\displaystyle{ G(x) = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20 }[/math]
Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone berechnen
Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die Nullstellen der berechneten Gewinnfunktion mit dem Taschenrechner bestimmen:
[math]\displaystyle{ 0 = -0,2x^3 + 4x^2 + 2,8x - 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ x_1 \approx -2,45 \quad (\text{ökonomisch nicht sinnvoll, da } x \geq 0) }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 = 2 }[/math] [math]\displaystyle{ x_3 \approx 20,45 }[/math]
- Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME.
- Die Gewinngrenze liegt bei ca. 20,45 ME.
- Die Gewinnzone ist das Intervall [math]\displaystyle{ [2; 20,45] }[/math].
- Der ökonomische Definitionsbereich beträgt [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{\text{ök}} = [0; 20,45] }[/math], da keine weitere Kapazitätsgrenze gegeben ist.
Graph der Gewinnfunktion zeichnen
Um den Graphen der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math]:
| [math]\displaystyle{ x }[/math] | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] | -20 | 0 | 42,4 | 97,6 | 156 | 208 | 244 | 254,4 | 229,6 | 160 | 36 | -160 |
Beispielrechnung für [math]\displaystyle{ x = 4 }[/math]: [math]\displaystyle{ G(4) = -0,2 \cdot 4^3 + 4 \cdot 4^2 + 2,8 \cdot 4 - 20 = -12,8 + 64 + 11,2 - 20 = 42,4 }[/math]
Wir zeichnen die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinden diese, um den Graphen zu erhalten. Wir können grob ablesen, dass die gewinnmaximale Ausbringungsmenge bei ca. 13,67 ME und das Gewinnmaximum bei ca. 253 GE liegt.
Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und Gewinnmaximum ermitteln
Das Gewinnmaximum berechnen wir exakt über die Ableitungen der Gewinnfunktion: [math]\displaystyle{ G'(x) = -0,6x^2 + 8x + 2,8 }[/math] [math]\displaystyle{ G''(x) = -1,2x + 8 }[/math]
- Notwendige Bedingung: [math]\displaystyle{ G'(x) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ -0,6x^2 + 8x + 2,8 = 0 }[/math]
Lösen mit dem Taschenrechner liefert:
[math]\displaystyle{ x_1 \approx -0,34 \notin \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2 \approx 13,67 \in \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math]
- Hinreichende Bedingung: Überprüfen der zweiten Ableitung
[math]\displaystyle{ G''(13,67) = -1,2 \cdot 13,67 + 8 \approx -8,4 < 0 }[/math]
Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei [math]\displaystyle{ x \approx 13,67 }[/math] ein Hochpunkt (Maximum) vor.
- Extremwert (Gewinnmaximum) berechnen:
[math]\displaystyle{ G(13,67) = -0,2 \cdot 13,67^3 + 4 \cdot 13,67^2 + 2,8 \cdot 13,67 - 20 \approx 253,30 }[/math]
Das Gewinnmaximum beträgt ca. 253,30 GE bei einer gewinnmaximalen Ausbringungsmenge von ca. 13,67 ME.