Kurzfristige Preisuntergrenze

Um Marktanteile zurückzugewinnen bzw. mehr Einheiten eines Produkts zu verkaufen, wird der Verkaufspreis für das Produkt gesenkt. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist der Verkaufspreis, bei dem wir einen Verlust in Höhe der Fixkosten eingehen. Dieser Verkaufspreis kann daher nur kurzfristig gehalten werden. Die dazugehörige Produktionsmenge ist das Betriebsminimum.

Variable Stückkostenfunktion

Gegeben sei eine Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K} }[/math] mit der variablen Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K_v }[/math] und den Fixkosten [math]\displaystyle{ d \in \mathbb{R}^{\gt 0} }[/math]. Dann nennen wir [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x} }[/math] variable Stückkostenfunktion oder variable Stückkosten. Die Kostenfunktion berechnet sich durch [math]\displaystyle{ K(x)=k_v(x)\cdot x+d }[/math]. [math]\displaystyle{ x }[/math] ist in ME, [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE und [math]\displaystyle{ k_v(x) }[/math] in GE pro ME gegeben.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K} }[/math] eine Kostenfunktion und [math]\displaystyle{ k_v }[/math] die dazugehörige variable Stückkostenfunktion. Die Minimalstelle [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_{ök} }[/math] der variablen Stückkosten [math]\displaystyle{ k_v }[/math] nennen wir Betriebsminimum. Das dazugehörige Minimum [math]\displaystyle{ k_v(x_0) }[/math] heißt kurzfristige Preisuntergrenze.

Gewinn im Betriebsminimum

Ist der Verkaufspreis für ein Produkt die kurzfristige Preisuntergrenze und wird das Betriebsminimum an Mengeneinheiten verkauft, decken sich die variablen Kosten und der Erlös und es fällt ein Verlust in Höhe der Fixkosten an. Der Preis kann damit kurzfristig, aber nicht auf Dauer gehalten werden.

Beispiele

Variable Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades

Für die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K(x)=ax^3+bx^2+cx+d }[/math] und [math]\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0} }[/math] sind die variablen Kosten durch [math]\displaystyle{ K_v(x)=ax^3+bx^2+cx }[/math]. Wir berechnen die variablen Stückkosten durch [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx}{x}=ax^2+bx+c }[/math] gegeben. Die Kostenfunktion lässt sich mit den variablen Stückkosten durch [math]\displaystyle{ K(x)=k_v(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx)\cdot x+d=ax^3+bx^2+cx+d }[/math] berechnen.

Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze graphisch ermitteln

Der Punkt [math]\displaystyle{ B(3,0625|3,12109375) }[/math] ist Tiefpunkt von [math]\displaystyle{ k_v }[/math] und damit ist das Betriebsminimum bei ca. [math]\displaystyle{ 3,06~ME }[/math] und die kurzfristige Preisuntergrenze bei ca. [math]\displaystyle{ 3,12~ \frac{GE}{ME} }[/math].

Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze berechnen

Graphen der Kostenfunktion, Stückkostenfunktion und variabler Stückkostenfunktion zu [math]\displaystyle{ K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10 }[/math]

Die Gesamtkostenfunktion für ein Produkt sei durch [math]\displaystyle{ K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10 }[/math] gegeben. [math]\displaystyle{ x }[/math] ist in ME und [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE.

Wir berechnen die Variablen Stückkosten [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{x^3-6,125x^2+12,5x}{x}=x^2-6,125x+12,5 }[/math] mit [math]\displaystyle{ k_v'(x)=2x-6,125 }[/math] und [math]\displaystyle{ k_v''(x)=2 }[/math].

1. Notwendige Bedingung:
   [math]\displaystyle{ k_v'(x)=0 }[/math]
   [math]\displaystyle{ 2x-6,125=0~|~+6,125 }[/math]
   [math]\displaystyle{ 2x=6,125~|~:2 }[/math]
   [math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math]
2. Hinreichende Bedingung:
   [math]\displaystyle{ k_v''(3,0625)=2\gt 0 }[/math], daher beträgt das Betriebsminimum [math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math] ME.
3. Funktionswert ermitteln:
   [math]\displaystyle{ k_v(3,0625)=3,0625^2-6,125 \cdot 3,0625+12,5=3,12109375 \approx 3,12 \frac{GE}{ME} }[/math] ist die kurzfristige Preisuntergrenze.

Gewinn im Betriebsminimum ermitteln

Wir führen das vorherige Beispiel fort. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist der neue Verkaufspreis für das Produkt. Damit ist die Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E(x)=3,12109375x }[/math]. Die Gewinnfunktion ist dann [math]\displaystyle{ G(x)=E(x)-K(x)=3,12109375x-(x^3-6,125x^2+12,5x+10)=3,12109375x-x^3+6,125x^2-12,5x-10=-x^3+6,125x^2-9,37890625x-10 }[/math]. Produzieren wir das Betriebsminimum, also [math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math] ME, beträgt der Gewinn [math]\displaystyle{ G(3,0625)=-(3,0625)^3+6,125 \cdot 3,0625^2-9,37890625 \cdot 3,0625-10=-10 }[/math] GE. Wir machen also einen Verlust in Höhe der Fixkosten.