Erwartungswert: Unterschied zwischen den Versionen
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==Definition== | ==Definition== | ||
Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | ||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | |||
==Faires Spiel== | ==Faires Spiel== | ||
Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> der Zufallsvariable <math>X</math> und der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> mit der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] <math>P(X=x_i)</math> des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Hat das Zufallsexperiment zwei Teilnehmer und gilt für <math>X=x_i<0</math> bzw. <math>X=x_i\geq 0</math>, dass ein Teilnehmer einen Verlust bzw. Gewinn in Höhe von <math>x_i</math> Geldeineiheiten erzielt hat, dann heißt das Zufallsexperiment '''Spiel'''. Ein '''Spiel''' heißt '''fair''', wenn für die Zufallsvariable <math>X</math>, Gewinn/Verlust in Geldeinheiten, <math>E(X)=0</math> gilt. | Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> der Zufallsvariable <math>X</math> und der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> mit der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] <math>P(X=x_i)</math> des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Hat das Zufallsexperiment zwei Teilnehmer und gilt für <math>X=x_i<0</math> bzw. <math>X=x_i\geq 0</math>, dass ein Teilnehmer einen Verlust bzw. Gewinn in Höhe von <math>x_i</math> Geldeineiheiten erzielt hat, dann heißt das Zufallsexperiment '''Spiel'''. Ein '''Spiel''' heißt '''fair''', wenn für die Zufallsvariable <math>X</math>, Gewinn/Verlust in Geldeinheiten, <math>E(X)=0</math> gilt. | ||
==Beispiele== | |||
===Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf=== | |||
Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der '''Erwartungswert''' durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. | |||
===Faires Spiel=== | |||
Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze, bei dem der Teilnehmer 1 Euro gewinnt, wenn die Münze Kopf zeigt, und 1 Euro verliert, wenn die Münze Zahl zeigt. Bei Zahl erhält der Anbieter den Euro. Wir betrachten das Spiel aus der Sicht des Teilnehmers. | |||
Hierbei handelt es sich um ein Spiel, da es einen Teilnehmer und einen Anbieter des Spiels gibt. Das Spiel hat zwei mögliche Ergebnisse. Der Teilnehmer kann | |||
*1 Euro gewinnen, falls Kopf fällt ([[Wahrscheinlichkeit]]: <math>\frac{1}{2}</math>) | |||
*1 Euro verlieren, falls Zahl fällt([[Wahrscheinlichkeit]]: <math>\frac{1}{2}</math>). | |||
Die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] ist also <math>S=\{1;-1\}</math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Gewinn in Euro, hat die Wahrscheinlichkeiten | |||
*<math>P(X=1)=\frac{1}{2}</math> | |||
*<math>P(X=-1)=\frac{1}{2}</math>. | |||
Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(x)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels. | |||
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] | [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] | ||
[[Kategorie:Fachabitur]] | [[Kategorie:Fachabitur]] | ||