Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel gibt einen typischen oder durchschnittlichen Wert in einem Datensatz an. Es ist ein Maß für das Zentrum der Datenverteilung. Dies ermöglicht es, einen schnellen Überblick über das durchschnittliche Ausprägungsniveau der untersuchten Variablen zu erhalten.

Wurden Merkmalsausprägungen zu einem quantitativen Merkmal erhoben, dann ist die Summe aller Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel, umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet.

Definition

Gegeben sei eine Zahlenfolge [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R} }[/math] mit dem Erhebungsumfang [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math]. Dann wird [math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} }[/math] als arithmetisches Mittel bezeichnet.

Arithmetisches Mittel und Häufigkeiten

Es seien [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_k }[/math] die verschiedenen Merkmalsausprägungen eines quantitativen Merkmals mit den jeweiligen absoluten Häufigkeiten [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{N} }[/math]. Der Erhebungsumfang sei [math]\displaystyle{ n }[/math], wobei [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i = n }[/math] gilt. Der Wert [math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \dots + a_k \cdot x_k}{n} = \frac{a_1}{n} \cdot x_1 + \frac{a_2}{n} \cdot x_2 + \dots + \frac{a_k}{n} \cdot x_k }[/math] heißt arithmetisches Mittel. Dabei ist [math]\displaystyle{ \frac{a_i}{n} }[/math] die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung [math]\displaystyle{ x_i }[/math].

Beispiele

Arithmetisches Mittel berechnen

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm das arithmetische Mittel berechnet.

Schüler Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Körpergröße in cm	183	172	163	154	158	166	177	188	190

1. Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
2. Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
3. Das arithmetische Mittel ist [math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{9} \approx 172{,}33 }[/math].

Die Schüler in der Klasse sind durchschnittlich 172,33 cm groß.

Arithmetisches Mittel mit Häufigkeiten berechnen

Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:

Schüler Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Körpergröße in cm	183	172	163	154	158	166	177	188	190	154

1. Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
2. Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
3. Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
4. Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
5. Das arithmetische Mittel ist [math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 2 \cdot 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{10} = 170{,}5 }[/math].

Da ein kleiner Schüler hinzugekommen ist, sind die Schüler in der Klasse durchschnittlich nur noch 170,5 cm groß.