Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Das empirische Gesetz der großen Zahlen ist eine Beobachtung, die besagt, dass relative Häufigkeiten von Ereignissen in großen Stichproben den theoretischen Wahrscheinlichkeiten nahekommen.

Definition

Wird ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt, so ändern sich die relativen Häufigkeiten der einzelnen Ergebnisse nur noch wenig. Je größer die Anzahl der Durchführungen eines Zufallsexperimentes ist, desto genauer nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an.

Beispiel

Wir betrachten ein Würfelbeispiel. Ein Würfel wird 10-; 20-; ...; 100-mal geworfen. Es wird geprüft, wie oft das Ereignis [math]\displaystyle{ E = {2} }[/math] aufgetreten ist. Die Ergebnisse sind in der unteren Tabelle festgehalten. n gibt die Anzahl der Würfe an. [math]\displaystyle{ H_n(E) }[/math] gibt die absolute Häufigkeit von [math]\displaystyle{ E }[/math] und [math]\displaystyle{ h_n\left(E\right) }[/math] die relative Häufigkeit von [math]\displaystyle{ E }[/math] an.

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  Ergebnisse Würfelspiel
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  Punktdiagramm Würfelspiel

Am Anfang existieren starke Schwankungen der relativen Häufigkeiten des Ereignisses [math]\displaystyle{ E }[/math], die aber mit wachsender Anzahl an Würfen abnehmen. Die relativen Häufigkeiten stabilisieren sich um den Wert 0,17. Diese Zahl wird als statistische Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [math]\displaystyle{ E }[/math] bezeichnet. Beim idealen Würfel kann man aufgrund seiner Symmetrie die Annahme machen, dass die Augenzahlen 1,2,3,4,5 und 6 etwa gleich häufig auftreten, wenn man oft genug würfelt. Für das Ereignis [math]\displaystyle{ E }[/math] setzt man dann die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P }[/math] durch [math]\displaystyle{ P(E)=\frac{1}{6}\approx 0,17 }[/math] fest.