Gewinnfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Eine [[Funktion]] <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math>, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist <math>x \in \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;x_{max}]</math>, wobei <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math> der '''[[Ökonomischer Definitionsbereich|ökonomische Definitionsbereich]]''' und <math>x_{max} \in\ \mathbb{R}</math> die '''[[Kapazitätsgrenze]]''' ist. <math>x</math> ist häufig in ME (Mengeneinheiten) und <math> G(x)</math> in GE (Geldeinheiten) gegeben. Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus der [[Erlösfunktion]] und der [[Kostenfunktion]]: <math>G(x)=E(x)-K(x)</math>

Es sei <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also [[Nullstelle|Nullstellen]] der Gewinnfunktion.  

Für eine lineare Gewinnfunktion <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> mit der Gewinnschwelle <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt der Punkt <math>BEP(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point'''.

 

Es sei <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Das [[Extremwert#Definition|globale Maximum]] <math>G(x_0)</math> von <math>G</math> heißt '''Gewinnmaximum'''. Die dazugehörige [[Extremwert#Definition|Maximalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> heißt '''gewinnmaximale Ausbringungsmenge'''.

Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die [[Kurzfristige_Preisuntergrenze#Variable_St%C3%BCckkostenfunktion|variablen Stückkosten]] betragen 30 € pro Fahrrad. Die produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die [[Kapazitätsgrenze]] beträgt 40 Stück. Wir analysieren im Folgenden die Gewinnsituation.

 

Für die [[Kostenfunktion]] gilt <math>K(x)=30x +2700</math> mit <math>K_v=30</math> und <math>K_f=2700</math>. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v(x)=300</math> und die [[Erlösfunktion]] ist <math>E(x)=300x</math>. Die Gewinnfunktion wird durch <math>G(x)=E(x)-K(x)=300x -(30x +2700)=270x-2700</math> berechnet.

 

Der Gewinn für die Kapazitätsgrenze beträgt <math>G(40)=282 \cdot 40-2700=8100</math> €.

 

 

 

<math>270x=2700~|~:270</math>

<math>x = 10</math>

beträgt die Gewinnschwelle <math>x_s = 10</math> Fahrräder. Alternativ können wir die [[Erlösfunktion]] und die [[Kostenfunktion]] gleichsetzen um die Gewinnschwelle zu berechnen:

<math>E(x)=K(x)</math>

 

<math>300x=30x+2700~|~-30x</math>

<math>300x-30x=2700</math>

<math>270x=2700~|~:270</math>

===Eine ganzrationale Gewinnfunktion dritten Grades herleiten und analysieren===

Die variable [[Kostenfunktion]] für ein Produkt ist durch <math>K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x</math> gegeben. Die [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] betragen 20 GE. Der [[Erlösfunktion#Definition|Verkaufspreis]] pro Stück beträgt 32,8 GE.

====Gewinnfunktion herleiten====

<math>E(x)=32,8x</math>

<math>K(x)=K_v(x)+K_f=,2x^3-4x^2+30x+20</math>

====Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone berechnen====

Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die [[Nullstelle|Nullstellen]] mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] berechnen:

Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME, die Gewinngrenze 20,45 ME, die Gewinnzone beträgt <math>[2;20,45]</math> und der ökonomische Definitionsbereich beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;20,45] </math>, da keine Kapazitätsgrenze gegeben ist.  

 

Um den [[Graph|Graphen]] der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:

! <math>x</math>

|0||2||4|| 6||8||10|| 12|| 14|| 16|| 18|| 20|| 22

! <math>G(x)</math>

| -20|| 0|| 42,4 || 97,6 || 156 || 208|| 244|| 254,4|| 229,6|| 160|| 36|| -160

Beispielsweise gilt <math>G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4</math>. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite. Wir erkennen, dass die gewinnmaximale Ausbringungsmenge ca. 13,67 ME und das Gewinnmaximum ca. 253 GE beträgt. Der dazugehörige Hochpunkt ist <math>G_{max}(13,67|253)</math>.

Das Gewinnmaximum und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge berechnen sich für <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> mit <math>G'(x)=-0,6x^2+8x+2,8</math> und <math>G''(x)=-1,2x+8</math> wie folgt:

#'''Hinreichende Bedingung''': <br> <math>G''(13,67)=-1,2 \cdot 13,67+8 \approx -8,4<0</math> <br> Bei <math>x \approx 13,67</math> liegt ein Maximum vor.

#'''Extremwert berechnen''': <br> <math>G(13,67)=-0,2\cdot 13,67^3+4\cdot 13,67^2+2,8\cdot 13,67-20 \approx 253</math> <br> Das Gewinnmaximum beträgt ca. 253 GE und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge beträgt ca. 13,67 ME.

[[Kategorie:Differentialrechnung]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]