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Gewinnfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Seite wurde neu angelegt: „Bei der Gewinnanalyse werden Erlöse, Kosten und Gewinne für ein Produkt mit Hilfe von Funktionen modelliert, graphisch dargestellt und untersucht. ==Gewinnfunktion== Eine Funktion, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist wie zuvor <math>x \in[0;x_{max}]</math>. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten: <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)</math> ===Beispie…“
 
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Bei der Gewinnanalyse werden Erlöse, Kosten und Gewinne für ein Produkt mit Hilfe von Funktionen modelliert, graphisch dargestellt und untersucht.  
Mit Hilfe einer Gewinnfunktion wird der Gewinn für eine bestimmte Produktionsmenge ermittelt. Der Gewinn berechnet sich durch Erlös minus Kosten.


==Gewinnfunktion==
==Definition==
Eine Funktion, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist wie zuvor <math>x \in[0;x_{max}]</math>. Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten: <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)</math>
Eine [[Funktion]] <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math>, die jeder Produktionsmenge <math>x</math> den Gewinn <math>G(x)</math> zuordnet, heißt '''Gewinnfunktion'''. Dabei ist <math>x \in \mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;x_{max}]</math>, wobei <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math> der '''[[Ökonomischer Definitionsbereich|ökonomische Definitionsbereich]]''' und <math>x_{max} \in\ \mathbb{R}</math> die '''[[Kapazitätsgrenze]]''' ist. <math>x</math> ist häufig in ME (Mengeneinheiten) und <math> G(x)</math> in GE (Geldeinheiten) gegeben. Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus der [[Erlösfunktion]] und der [[Kostenfunktion]]: <math>G(x)=E(x)-K(x)</math>


===Beispiel - Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/aQ0J7uPZDJ0?si=gQsaFaVl-BBUPUfA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die variablen Stückkosten betragen 18 € pro Fahrrad. Die Produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die Kapazitätsgrenze beträgt 30 Stück. Wie hoch ist der Gewinn, falls die Kapazitätsgrenze erreicht wird?
 
==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also [[Nullstelle|Nullstellen]] der Gewinnfunktion.
 
==Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen==
Für eine lineare Gewinnfunktion <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> mit der Gewinnschwelle <math>x_s \in \mathbb{D}_{\text{ök}}</math> heißt der Punkt <math>BEP(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point'''.
 
==Gewinnmaximum==
Es sei <math>G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G</math> eine Gewinnfunktion. Das [[Extremwert#Definition|globale Maximum]] <math>G(x_0)</math> von <math>G</math> heißt '''Gewinnmaximum'''. Die dazugehörige [[Extremwert#Definition|Maximalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> heißt '''gewinnmaximale Ausbringungsmenge'''.
 
==Beispiele==
===Eine lineare Gewinnfunktion herleiten und analysieren===
Die Produktion von Fahrrädern verursacht fixe Kosten von 2700 €. Die [[Kurzfristige_Preisuntergrenze#Variable_St%C3%BCckkostenfunktion|variablen Stückkosten]] betragen 30 € pro Fahrrad. Die produzierten Fahrräder werden für jeweils 300 € pro Stück verkauft. Die [[Kapazitätsgrenze]] beträgt 40 Stück. Wir analysieren im Folgenden die Gewinnsituation.
 
====Gewinnfunktion herleiten====
Für die [[Kostenfunktion]] gilt <math>K(x)=30x +2700</math> mit <math>K_v=30</math> und <math>K_f=2700</math>. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v(x)=300</math> und die [[Erlösfunktion]] ist <math>E(x)=300x</math>. Die Gewinnfunktion wird durch <math>G(x)=E(x)-K(x)=300x -(30x +2700)=270x-2700</math> berechnet.
 
====Gewinn berechnen====
Der Gewinn für die Kapazitätsgrenze beträgt <math>G(40)=282 \cdot 40-2700=8100</math> €.
 
====Gewinnschwelle berechnen====
Wegen
 
<math>G(x)=0</math>
 
<math>270x-2700=0~|~+2700</math>
 
<math>270x=2700~|~:270</math>
 
<math>x = 10</math>


Für die Kostenfunktion gilt <math>K(x)=18x\ +2700</math> mit <math>K_v=18</math> und <math>K_f=2700</math>. Weil der Erlös pro Einheit 300 € beträgt, ist <math>E_v=300</math> und die Erlösfunktion <math>E(x)=300x</math>. Die Gewinnfunktion ist also <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K\left(x\right)=300x\ -\left(18x\ +2700\right)=282x-2700</math>. Also ist der Gewinn für die Kapazitätsgrenze <math>G(30)=282 \cdot 30-2700=5760</math> €.
beträgt die Gewinnschwelle <math>x_s = 10</math> Fahrräder. Alternativ können wir die [[Erlösfunktion]] und die [[Kostenfunktion]] gleichsetzen um die Gewinnschwelle zu berechnen:


===Beispiel - Eine ganzrationale Gewinnfunktion herleiten===
<math>E(x)=K(x)</math>
Die variable Kostenfunktion für ein Produkt ist durch <math>K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x</math> gegeben. Die Fixkosten betragen 20 GE. Der Verkaufspreis pro Stück beträgt 32,8 GE.


Die Erlösfunktion, die Kostenfunktion und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:
<math>300x=30x+2700~|~-30x</math>


<math>E(x)=32,8x</math>
<math>300x-30x=2700</math>


<math>K(x)=K_v(x)+K_f=,2x^3-4x^2+30x+20</math>
<math>270x=2700~|~:270</math>


<math>G(x)=E(x)-K(x)=32,8x-(0,2x^3-4x^2+30x+20)=32,8x-0,2x^3+4x^2-30x-20=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>
<math>x=10</math>


==Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone==
====Break-Even-Point berechnen====
Die '''Gewinnschwelle''' <math>x_s</math> ist die kleinste Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. Die '''Gewinngrenze''' <math>x_g</math> ist die größte Produktionsmenge, für die der Gewinn gleich 0 ist. In der '''Gewinnzone''', <math>[x_s;x_g]</math>, liegen die Produktionsmengen, für die der Gewinn nicht negativ ist. Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze werden durch <math>K(x)=E(x)</math> oder <math>G\left(x\right)=E\left(x\right)-K(x)=0</math> berechnet. Sie sind also Nullstellen der Gewinnfunktion. Eine lineare Gewinnfunktion hat nur eine Gewinnschwelle und keine Gewinngrenze, da der Graph eine Gerade ist.
Außerdem gilt <math>E(10)=300 \cdot 10 =3000</math>. Der Break-Even-Point ist damit <math>BEP(10|3000)</math>. Werden 10 ME produziert, sind die Kosten und der Erlös gleich hoch und betragen jeweils 3000 €.


===Beispiel - Gewinnschwelle einer linearen Funktion ermitteln===
===Eine ganzrationale Gewinnfunktion dritten Grades herleiten und analysieren===
Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> gilt
Die variable [[Kostenfunktion]] für ein Produkt ist durch <math>K_v(x)=0,2x^3-4x^2+30x</math> gegeben. Die [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] betragen 20 GE. Der [[Erlösfunktion#Definition|Verkaufspreis]] pro Stück beträgt 32,8 GE.


<math>282x-2700=0\ |+2700</math>
====Gewinnfunktion herleiten====
Die [[Erlösfunktion]], die [[Kostenfunktion]] und die Gewinnfunktion berechnen sich wie folgt:


<math>282x=2700\ |:282</math>
<math>E(x)=32,8x</math>


<math>x \approx 9,57</math>
<math>K(x)=K_v(x)+K_f=,2x^3-4x^2+30x+20</math>


für die Gewinnschwelle.
<math>G(x)=E(x)-K(x)=32,8x-(0,2x^3-4x^2+30x+20)=32,8x-0,2x^3+4x^2-30x-20=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>


===Beispiel - Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone einer ganzrationalen Funktion berechnen mit graphischer Darstellung===
====Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone berechnen====
[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20</math>]]
[[Datei:GewinnanalyseGraphGewinnfunktion.png|mini|Graph der Gewinnfunktion <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2-30x-20</math>]]
Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.  
Die Gewinnfunktion für ein Produkt ist durch <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> gegeben. x ist die Menge in ME und G(x) gibt den Gewinn in GE an.  


Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die Nullstellen mit dem Taschenrechner berechnen:
Wir ermitteln Gewinnschwelle, Gewinngrenze und Gewinnzone, indem wir die [[Nullstelle|Nullstellen]] mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] berechnen:


<math>0=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>
<math>0=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math>


<math>x_1 \approx -2,45, x_2=2, x_3 \approx 20,45</math>
<math>x_1 \approx -2,45, x_2=2, x_3 \approx 20,45</math>
Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME, die Gewinngrenze 20,45 ME, die Gewinnzone beträgt <math>[2;20,45]</math> und der ökonomische Definitionsbereich beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;20,45] </math>. Um den Graphen der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:
Die Gewinnschwelle beträgt 2 ME, die Gewinngrenze 20,45 ME, die Gewinnzone beträgt <math>[2;20,45]</math> und der ökonomische Definitionsbereich beträgt <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}=[0;20,45] </math>, da keine Kapazitätsgrenze gegeben ist.  
 
====Graph der Gewinnfunktion zeichnen====
Um den [[Graph|Graphen]] der Gewinnfunktion zu zeichnen, erstellen wir eine Wertetabelle für x-Werte in <math>\mathbb{D}_{\text{ök}}</math>:


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|-
|-
| x||0||2||4|| 6||8||10|| 12|| 14|| 16|| 18|| 20|| 22
! <math>x</math>
|0||2||4|| 6||8||10|| 12|| 14|| 16|| 18|| 20|| 22
|-
|-
| G(x)|| -20|| 0|| 42,4 || 97,6 || 156 || 208|| 244|| 254,4|| 229,6|| 160|| 36|| -160
! <math>G(x)</math>
| -20|| 0|| 42,4 || 97,6 || 156 || 208|| 244|| 254,4|| 229,6|| 160|| 36|| -160
|}
|}


Beispielsweise gilt <math>G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4</math>. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite.
Beispielsweise gilt <math>G(4)=-0,2\cdot 2^3+4\cdot 2^2+2,8\cdot 2-20=42,4</math>. Wir zeichnen die Punkte dann in ein Koordinatensystem ein, verbinden diese und erhalten den Graph auf der rechten Seite. Wir erkennen, dass die gewinnmaximale Ausbringungsmenge ca. 13,67 ME und das Gewinnmaximum ca. 253 GE beträgt. Der dazugehörige Hochpunkt ist <math>G_{max}(13,67|253)</math>.
 
==Break-Even-Point (BEP) für lineare Funktionen==
Für eine lineare Gewinnfunktion heißt der Punkt <math>S(x_s| E(x_s))</math> '''Break-Even-Point (BEP)'''. Im BEP sind also Kosten und Erlös gleich.
 
===Beispiel - Break-Even-Point für eine lineare Funktion ermitteln===
Für die Gewinnfunktion <math>G\left(x\right)=282x-2700</math> mit <math>K(x)=18x+2700</math> und <math>E(x)=300x</math> ist <math>x \approx 9,57</math> die Gewinnschwelle (siehe Beispiel Gewinnschwelle). Der Break-Even-Point ergibt sich durch Einsetzen in die Erlösfunktion <math>E(9,57)\approx300\cdot 9,57\approx2872,34</math> und ist damit <math>S(9,57|2872,34)</math>. Alternativ können die Erlösfunktion und die Kostenfunktion gleichgesetzt werden:
 
<math>E(x)=K(x)</math>
 
<math>300x=18x+2700\ |-18x</math>
 
<math>300x-18x=2700\ |-2700</math>
 
<math>282x-2700=0</math>


Der Term im letzten Rechenschritt entspricht genau der Gewinnfunktion. Die restliche Rechnung läuft dann analog zu oben.
====Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und Gewinnmaximum ermitteln====
Das Gewinnmaximum und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge berechnen sich für <math>G(x)=-0,2x^3+4x^2+2,8x-20</math> mit <math>G'(x)=-0,6x^2+8x+2,8</math> und <math>G''(x)=-1,2x+8</math> wie folgt:


===Erklärvideo zur Gewinnanalyse mit linearen Funktionen (BEP berechnen)===
#'''Notwendige Bedingung''': <br> <math>G'(x)=0</math> <br> <math>-0,6x^2+8x+2,8=0~|</math> Lösen mit [[Taschenrechner_verwenden#Nullstellen_berechnen|Taschenrechner]] <br> <math>x \approx -0,34 \notin \mathbb{D}_{ök}</math> oder  <math>x \approx 13,67 \in \mathbb{D}_{ök}</math>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/aQ0J7uPZDJ0?si=gQsaFaVl-BBUPUfA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
#'''Hinreichende Bedingung''': <br> <math>G''(13,67)=-1,2 \cdot 13,67+8 \approx -8,4<0</math> <br> Bei <math>x \approx 13,67</math> liegt ein Maximum vor.
#'''Extremwert berechnen''': <br> <math>G(13,67)=-0,2\cdot 13,67^3+4\cdot 13,67^2+2,8\cdot 13,67-20 \approx 253</math> <br> Das Gewinnmaximum beträgt ca. 253 GE und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge beträgt ca. 13,67 ME.


[[Kategorie:Mathematische]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:Gewinnanalyse]]
[[Kategorie:Fachabitur]]
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
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