Erwartungswert: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der ~~Wahrscheinlichkeitsverteilung~~.

Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Zufallsvariable.

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==Beispiele==

===Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf===

Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der ~~'''~~Erwartungswert~~'''~~ durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.

Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.

===~~Faires~~ Spiel===

===Einfacher Münzwurf als faires Spiel===

Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze, bei dem der Teilnehmer 1 Euro gewinnt, wenn die Münze Kopf zeigt, und 1 Euro verliert, wenn die Münze Zahl zeigt. Bei Zahl erhält der Anbieter den Euro. Wir betrachten das Spiel aus der Sicht des Teilnehmers.

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*<math>P(X=1)=\frac{1}{2}</math>

*<math>P(X=-1)=\frac{1}{2}</math>.

Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(x)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.

Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(X)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 ==Definition==
-Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
+Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Zufallsvariable.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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 ==Beispiele==
 ===Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf===
-Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der '''Erwartungswert''' durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.
+Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet.
-===Faires Spiel===
+===Einfacher Münzwurf als faires Spiel===
 Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze, bei dem der Teilnehmer 1 Euro gewinnt, wenn die Münze Kopf zeigt, und 1 Euro verliert, wenn die Münze Zahl zeigt. Bei Zahl erhält der Anbieter den Euro. Wir betrachten das Spiel aus der Sicht des Teilnehmers.
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 *<math>P(X=1)=\frac{1}{2}</math>
 *<math>P(X=-1)=\frac{1}{2}</math>.
-Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(x)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.
+Der Erwartungswert berechnet sich durch <math>E(X)=1 \cdot P(X=1)+(-1) \cdot P(X=-1)=1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0</math>. Das Spiel ist also fair. Auf lange Sicht gewinnt weder der Teilnehmer noch der Anbieter des Spiels.
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
+[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]