Erwartungswert

Gemäß dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments den Wahrscheinlichkeiten an. Der Erwartungswert ist das arithmetische Mittel mit Wahrscheinlichkeiten anstatt relativen Häufigkeiten und gibt daher den Durchschnittswert an, den man bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten kann.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ S=\{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math]. Für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] und die Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] sei [math]\displaystyle{ P(X=x_i) }[/math] die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ x_i }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math]. Dann ist [math]\displaystyle{ \mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n) }[/math] der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Faires Spiel

Es sei [math]\displaystyle{ S=\{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math] der Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] und der Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit der Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(X=x_i) }[/math] des Ergebnisses [math]\displaystyle{ x_i }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math]. Hat das Zufallsexperiment zwei Teilnehmer und gilt für [math]\displaystyle{ X=x_i\lt 0 }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ X=x_i\geq 0 }[/math], dass ein Teilnehmer einen Verlust bzw. Gewinn in Höhe von [math]\displaystyle{ x_i }[/math] Geldeineiheiten erzielt hat, dann heißt das Zufallsexperiment Spiel. Ein Spiel heißt fair, wenn für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], Gewinn/Verlust in Geldeinheiten, [math]\displaystyle{ E(X)=0 }[/math] gilt.