Erwartungswert: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „==Definition== Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die Zufallsvariable <math>X</math> und die Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die Wahrscheinlichkeit d…“ |
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Gemäß dem [[Empirisches_Gesetz_der_großen_Zahlen|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] der Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] den [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeiten]] an. Der Erwartungswert ist das [[Arithmetisches_Mittel#Arithmetisches_Mittel_und_H%C3%A4ufigkeiten|arithmetische Mittel]] mit Wahrscheinlichkeiten anstatt relativen Häufigkeiten und gibt daher den Durchschnittswert an, den man bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten kann. | |||
==Definition== | ==Definition== | ||
Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | ||