Erwartungswert: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>. Dann ist <math>\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)</math> der '''Erwartungswert''' der Wahrscheinlichkeitsverteilung. | ||
Version vom 19. Juli 2024, 09:53 Uhr
Gemäß dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments den Wahrscheinlichkeiten an. Der Erwartungswert ist das arithmetische Mittel mit Wahrscheinlichkeiten anstatt relativen Häufigkeiten und gibt daher den Durchschnittswert an, den man bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten kann.
Definition
Es sei [math]\displaystyle{ S=\{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math]. Für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] und die Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] sei [math]\displaystyle{ P(X=x_i) }[/math] die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ x_i }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math]. Dann ist [math]\displaystyle{ \mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n) }[/math] der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung.