Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung): Unterschied zwischen den Versionen

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==Varianz ~~(Wahrscheinlichkeitsrechnung)==~~

Gemäß dem [[Empirisches_Gesetz_der_großen_Zahlen|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] der Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] den [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeiten]] an. Die Varianz ist der [[Erwartungswert]] der quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert.

===Definition===

==Definition==

~~Die~~ '''Varianz''' ~~ist durch~~

Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> und <math>E(X)</math> der [[Erwartungswert]]. Dann ist <math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-E(X))^2 \cdot P(X=x_n)</math> die '''Varianz''' der Zufallsvariable.

<~~math~~>~~\sigma^2~~=~~V(X)~~=~~(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+~~...~~+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i<~~/~~math>~~

~~definiert. Die '''Standardabweichung''' ist <math>\sigma~~=~~\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math>.~~

~~Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu~~

* 68 % im Intervall <math>\left[\mu-~~\sigma~~;~~\mu+\sigma\right]</math>~~

* 95 % im Intervall <math>\left[\mu-~~2\sigma~~;~~\mu+2\sigma\right]</math>~~

* 99 % im Intervall <math>\left[\mu-~~3\sigma~~;~~\mu+3\sigma\right]</math>~~

~~===Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zum dreifachen Münzwurf ermitteln===~~

~~Für das vorherige Beispiel mit dem dreifachen Münzwurf und der Zufallsvariable X, Anzahl von Zahl, gilt <math>P(X=0)=0,125</math~~>~~,<math>P(X=1)=0,375~~</~~math~~>~~, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>. Der '''Erwartungswert''' ist dann:~~

~~<math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5~~</~~math~~>

~~Die '''Varianz'''~~ und die '''Standardabweichung''' ~~sind dann:~~

==Standardabweichung==

Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] und <math>V(X)</math> die Varianz der Zufallsvariable, dann heißt <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math> '''Standardabweichung'''.

<math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>

==Beispiele==

===Varianz zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===

Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch <math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>.

<math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75}</math>

===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===

Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable <math>X</math> berechnet sich durch durch <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87</math>. Die erwartete Abweichung vom Erwartungswert beträgt <math>0,87</math>.

<~~html~~>~~<iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="~~0~~" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen>~~</~~iframe></html~~>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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-==Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)==
+Gemäß dem [[Empirisches_Gesetz_der_großen_Zahlen|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] der Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] den [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeiten]] an. Die Varianz ist der [[Erwartungswert]] der quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert.
-===Definition===
+==Definition==
-Die '''Varianz''' ist durch
+Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> und <math>E(X)</math> der [[Erwartungswert]]. Dann ist <math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-E(X))^2 \cdot P(X=x_n)</math> die '''Varianz''' der Zufallsvariable.
-<math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+...+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i</math>
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-definiert. Die '''Standardabweichung''' ist <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math>.
-Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu
-* 68 % im Intervall <math>\left[\mu-\sigma;\mu+\sigma\right]</math>
-* 95 % im Intervall <math>\left[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma\right]</math>
-* 99 % im Intervall <math>\left[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma\right]</math>
-===Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zum dreifachen Münzwurf ermitteln===
-Für das vorherige Beispiel mit dem dreifachen Münzwurf und der Zufallsvariable X, Anzahl von Zahl, gilt <math>P(X=0)=0,125</math>,<math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>. Der '''Erwartungswert''' ist dann:
-<math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math>
-Die '''Varianz''' und die '''Standardabweichung''' sind dann:
+==Standardabweichung==
+Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] und <math>V(X)</math> die Varianz der Zufallsvariable, dann heißt <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math> '''Standardabweichung'''.
-<math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>
+==Beispiele==
+===Varianz zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
+Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch <math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>.
-<math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75}</math>
+===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
+Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable <math>X</math> berechnet sich durch durch <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87</math>. Die erwartete Abweichung vom Erwartungswert beträgt <math>0,87</math>.
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]