Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Gemäß dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ausgänge eines Zufallsexperiments bei wachsender Versuchszahl den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an. Während der Erwartungswert das Zentrum einer Wahrscheinlichkeitsverteilung angibt, beschreiben die Varianz und die Standardabweichung als fundamentale Streuungsmaße, wie stark die Werte einer Zufallsvariable um diesen Erwartungswert streuen. Die Varianz ist definiert als der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Definition

Es sei ein Zufallsexperiment mit der endlichen Ergebnismenge [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] gegeben. Eine diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] nehme die Werte [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R} }[/math] mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math] an (wobei [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n P(X = x_i) = 1 }[/math] gilt). Es sei [math]\displaystyle{ \mu = E(X) }[/math] der Erwartungswert von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Die Varianz [math]\displaystyle{ \sigma^2 = V(X) }[/math] (häufig auch [math]\displaystyle{ \operatorname{Var}(X) }[/math]) der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math] ist definiert als:

[math]\displaystyle{ V(X) = E\left((X - \mu)^2\right) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i) }[/math]

In ausführlicher Schreibweise:

[math]\displaystyle{ V(X) = (x_1 - \mu)^2 \cdot P(X = x_1) + (x_2 - \mu)^2 \cdot P(X = x_2) + \dots + (x_n - \mu)^2 \cdot P(X = x_n) }[/math]

Bedeutung der Bestandteile:

• [math]\displaystyle{ x_i }[/math] sind die möglichen Realisationen (Werte) der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mu = E(X) }[/math] ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen.
• [math]\displaystyle{ (x_i - \mu) }[/math] stellt die lineare Abweichung des Wertes [math]\displaystyle{ x_i }[/math] vom Erwartungswert dar.
• [math]\displaystyle{ (x_i - \mu)^2 }[/math] ist die quadrierte Abweichung. Durch das Quadrieren werden alle Abweichungen positiv gewertet, und größere Ausreißer werden überproportional stark gewichtet.
• [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Wertes [math]\displaystyle{ x_i }[/math].

Standardabweichung

Da die Varianz durch das Quadrieren der Differenzen in einer quadrierten Maßeinheit vorliegt (z. B. [math]\displaystyle{ \text{Euro}^2 }[/math] oder [math]\displaystyle{ \text{Stück}^2 }[/math]), wird zur anschaulichen Interpretation die Standardabweichung herangezogen.

Für eine diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] mit der Varianz [math]\displaystyle{ V(X) }[/math] ist die Standardabweichung [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] (Sigma) als die nichtnegative Quadratwurzel aus der Varianz definiert:

[math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)} }[/math]

Interpretation: Die Standardabweichung [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] besitzt dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] selbst sowie ihr Erwartungswert [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. Sie beziffert die durchschnittliche bzw. typische Streubreite der Werte um den Erwartungswert.

Beispiel: Dreifacher Münzwurf

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Die Ergebnismenge lautet:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\} }[/math]

Die diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] beschreibt die Anzahl der Erfolge („Zahl“). Die Zufallsvariable kann die Werte [math]\displaystyle{ x_i \in \{0, 1, 2, 3\} }[/math] annehmen.

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt sich tabellarisch wie folgt dar:

Wert [math]\displaystyle{ x_i }[/math]	Günstige Ergebnisse aus [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]	Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{KKK}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{8} = 0{,}125 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZKK}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{3}{8} = 0{,}375 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{KZZ}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{3}{8} = 0{,}375 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZZZ}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{8} = 0{,}125 }[/math]
Summe		[math]\displaystyle{ 1{,}000 }[/math]

1. Berechnung des Erwartungswerts

Der Erwartungswert [math]\displaystyle{ \mu = E(X) }[/math] berechnet sich als Summe der Produkte aus den Werten [math]\displaystyle{ x_i }[/math] und ihren Wahrscheinlichkeiten [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mu = E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X = x_i) }[/math]

[math]\displaystyle{ E(X) = 0 \cdot 0{,}125 + 1 \cdot 0{,}375 + 2 \cdot 0{,}375 + 3 \cdot 0{,}125 }[/math]

[math]\displaystyle{ E(X) = 0 + 0{,}375 + 0{,}750 + 0{,}375 = 1{,}5 }[/math]

Bei einem dreifachen Münzwurf ist im Mittel somit [math]\displaystyle{ \mu = 1{,}5 }[/math]-mal das Ergebnis „Zahl“ zu erwarten.

2. Berechnung der Varianz

Die Varianz ergibt sich durch das Summieren der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert [math]\displaystyle{ \mu = 1{,}5 }[/math]:

[math]\displaystyle{ V(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i) }[/math]

[math]\displaystyle{ V(X) = (0 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}125 + (1 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (2 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (3 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}125 }[/math]

[math]\displaystyle{ V(X) = (-1{,}5)^2 \cdot 0{,}125 + (-0{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (0{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (1{,}5)^2 \cdot 0{,}125 }[/math]

[math]\displaystyle{ V(X) = 2{,}25 \cdot 0{,}125 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 2{,}25 \cdot 0{,}125 }[/math]

[math]\displaystyle{ V(X) = 0{,}28125 + 0{,}09375 + 0{,}09375 + 0{,}28125 = 0{,}75 }[/math]

Die Varianz der Zufallsvariablen beträgt [math]\displaystyle{ V(X) = 0{,}75 }[/math].

3. Berechnung der Standardabweichung

Die Standardabweichung [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ist die Quadratwurzel aus der Varianz:

[math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}866 \approx 0{,}87 }[/math]

Interpretation des Ergebnisses: Bei einer erwarteten Anzahl von [math]\displaystyle{ \mu = 1{,}5 }[/math] Treffern beträgt die typische Abweichung (Streuung) rund [math]\displaystyle{ \sigma \approx 0{,}87 }[/math] Treffer.