Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung): Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „==Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)== ===Definition=== Die '''Varianz''' ist durch <math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+...+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i</math> definiert. Die '''Standardabweichung''' ist <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math>. Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu * 68 % im Intervall <math>\left[\mu-\sigma;\mu+\sigma\ri…“ |
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Gemäß dem [[Empirisches_Gesetz_der_großen_Zahlen|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] der Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] den [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeiten]] an. Die Varianz ist der [[Erwartungswert]] der quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert. | |||
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Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> und <math>E(X)</math> der [[Erwartungswert]]. Dann ist <math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-E(X))^2 \cdot P(X=x_n)</math> die '''Varianz''' der Zufallsvariable. | |||
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==Standardabweichung== | |||
Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] und <math>V(X)</math> die Varianz der Zufallsvariable, dann heißt <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math> '''Standardabweichung'''. | |||
<math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math> | ==Beispiele== | ||
===Varianz zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln=== | |||
Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch <math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>. | |||
<math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75}</math> | ===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln=== | ||
Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable <math>X</math> berechnet sich durch durch <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87</math>. Die erwartete Abweichung vom Erwartungswert beträgt <math>0,87</math>. | |||
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Aktuelle Version vom 21. Juli 2024, 11:20 Uhr
Gemäß dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments den Wahrscheinlichkeiten an. Die Varianz ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert.
Definition
Es sei [math]\displaystyle{ S=\{x_1,x_2,...,x_n\} }[/math] die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math]. Für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] und die Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] sei [math]\displaystyle{ P(X=x_i) }[/math] die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ x_i }[/math] mit [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq n }[/math] und [math]\displaystyle{ E(X) }[/math] der Erwartungswert. Dann ist [math]\displaystyle{ \sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-E(X))^2 \cdot P(X=x_n) }[/math] die Varianz der Zufallsvariable.
Standardabweichung
Für ein Zufallsexperiment sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine Zufallsvariable und [math]\displaystyle{ V(X) }[/math] die Varianz der Zufallsvariable, dann heißt [math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)} }[/math] Standardabweichung.
Beispiele
Varianz zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln
Für das Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfes mit der Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], Anzahl von Zahl, und der Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P(X=0)=0,125 }[/math], [math]\displaystyle{ P(X=1)=0,375 }[/math], [math]\displaystyle{ P(X=2)=0,375 }[/math] und [math]\displaystyle{ P(X=3)=0,125 }[/math], wird der Erwartungswert durch [math]\displaystyle{ E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5 }[/math] berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch [math]\displaystyle{ V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75 }[/math].
Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln
Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] berechnet sich durch durch [math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87 }[/math]. Die erwartete Abweichung vom Erwartungswert beträgt [math]\displaystyle{ 0,87 }[/math].