Erwartungswert

Gemäß dem empirischen Gesetz der großen Zahlen nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments bei einer großen Anzahl von Wiederholungen den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an[cite: 1, 2].

Während das empirische arithmetische Mittel aus den beobachteten relativen Häufigkeiten einer Stichprobe berechnet wird, ist der Erwartungswert (oft mit [math]\displaystyle{ \mu }[/math] oder [math]\displaystyle{ E(X) }[/math] bezeichnet) das mit den theoretischen Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel[cite: 1, 2]. Er gibt den Durchschnittswert an, den die Zufallsvariable bei sehr vielen Wiederholungen des Zufallsexperiments auf lange Sicht im Mittel annimmt[cite: 1, 2].

Definition

Es sei ein Zufallsexperiment mit der endlichen Ergebnismenge [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] gegeben[cite: 1, 2]. Eine diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] nehme die Werte [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R} }[/math] mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math] an (wobei [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n P(X = x_i) = 1 }[/math] gilt)[cite: 1, 2].

Der Erwartungswert [math]\displaystyle{ \mu = E(X) }[/math] der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math] ist definiert als[cite: 1, 2]:

[math]\displaystyle{ \mu = E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X = x_i) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + \dots + x_n \cdot P(X = x_n) }[/math][cite: 1, 2]

Bedeutung der Bestandteile:

• [math]\displaystyle{ x_i }[/math] sind die möglichen Realisationen (Werte) der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math][cite: 1, 2].
• [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert [math]\displaystyle{ x_i }[/math] annimmt[cite: 1, 2].
• [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n }[/math] summiert die gewichteten Werte über alle [math]\displaystyle{ n }[/math] möglichen Ausprägungen auf[cite: 1, 2].

Faires Spiel

In ökonomischen und stochastischen Kontexten wird ein Zufallsexperiment mit finanziellem Einsatz und Gewinnausschüttung als (Glücks-)Spiel zwischen zwei Parteien (in der Regel Spielteilnehmer und Spielanbieter) modelliert[cite: 1, 2].

Beschreibt die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] den Nettogewinn eines Spielers in Geldeinheiten (Gewinnauszahlung abzüglich Spieleinsatz, wobei Auszahlungen als [math]\displaystyle{ X > 0 }[/math] und Verluste als [math]\displaystyle{ X < 0 }[/math] dargestellt werden), so dient der Erwartungswert zur Beurteilung der Ausgewogenheit des Spiels[cite: 1, 2]:

Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Nettogewinn pro Spielrunde gleich null ist[cite: 1, 2]:

[math]\displaystyle{ E(X) = 0 }[/math][cite: 1, 2]

Beurteilungskriterien für ein Spiel:

• Faires Spiel ([math]\displaystyle{ E(X) = 0 }[/math]): Auf lange Sicht gewinnt oder verliert im Durchschnitt weder der Spieler noch der Anbieter[cite: 1, 2].
• Günstiges Spiel ([math]\displaystyle{ E(X) > 0 }[/math]): Der Spieler erzielt auf lange Sicht einen durchschnittlichen Gewinn pro Runde[cite: 1, 2].
• Ungünstiges Spiel ([math]\displaystyle{ E(X) < 0 }[/math]): Der Spieler erzielt auf lange Sicht einen durchschnittlichen Verlust pro Spielrunde (dies ist der typische Fall bei kommerziellen Glücksspielen und Lotterien)[cite: 1, 2].

Alternativ kann die Bruttoauszahlung [math]\displaystyle{ A }[/math] betrachtet werden: Ein Spiel ist genau dann fair, wenn der Erwartungswert der Auszahlung exakt dem Einsatz [math]\displaystyle{ e }[/math] entspricht ([math]\displaystyle{ E(A) = e }[/math])[cite: 1, 2].

Beispiele

Erwartungswert beim dreifachen Münzwurf

Eine faire Münze wird dreimal geworfen[cite: 1, 2]. Die Ergebnismenge lautet[cite: 1, 2]:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\} }[/math][cite: 1, 2]

Die diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] beschreibt die Häufigkeit des Ergebnisses „Zahl“ und kann die Werte [math]\displaystyle{ x_i \in \{0, 1, 2, 3\} }[/math] annehmen[cite: 1, 2]. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Zwischenschritte zur Berechnung des Erwartungswerts stellen sich wie folgt dar[cite: 1, 2]:

Wert [math]\displaystyle{ x_i }[/math] (Anzahl Zahl)	Günstige Ergebnisse aus [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]	Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math]	Produkt [math]\displaystyle{ x_i \cdot P(X = x_i) }[/math]
0	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{KKK}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0{,}125 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 \cdot 0{,}125 = 0 }[/math]
1	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZKK}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0{,}375 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 \cdot 0{,}375 = 0{,}375 }[/math]
2	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{KZZ}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0{,}375 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 \cdot 0{,}375 = 0{,}750 }[/math]
3	[math]\displaystyle{ \{\mathrm{ZZZ}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0{,}125 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375 }[/math]
Summe		[math]\displaystyle{ 1{,}000 }[/math]	[math]\displaystyle{ \mu = 1{,}500 }[/math]

Der Erwartungswert berechnet sich durch Summation der Produkte[cite: 1, 2]:

[math]\displaystyle{ \mu = E(X) = 0 \cdot 0{,}125 + 1 \cdot 0{,}375 + 2 \cdot 0{,}375 + 3 \cdot 0{,}125 }[/math][cite: 1, 2]

[math]\displaystyle{ \mu = E(X) = 0 + 0{,}375 + 0{,}750 + 0{,}375 = 1{,}5 }[/math][cite: 1, 2]

Interpretation: Bei sehr vielen Wiederholungen des dreifachen Münzwurfs ist auf lange Sicht durchschnittlich [math]\displaystyle{ \mu = 1{,}5 }[/math]-mal das Ergebnis „Zahl“ pro Durchgang zu erwarten[cite: 1, 2].

Einfacher Münzwurf als faires Spiel

Wir betrachten das Werfen einer fairen Münze[cite: 1, 2]. Das Zufallsexperiment besitzt die Ergebnismenge[cite: 1, 2]:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\} }[/math][cite: 1, 2]

Die Spielregeln lauten aus Sicht des Teilnehmers:

• Fällt Kopf, gewinnt der Teilnehmer [math]\displaystyle{ 1\,\text{Euro} }[/math][cite: 1, 2].
• Fällt Zahl, verliert der Teilnehmer [math]\displaystyle{ 1\,\text{Euro} }[/math] (der Anbieter erhält den Euro)[cite: 1, 2].

Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] beschreibt den finanziellen Nettogewinn des Teilnehmers in Euro und nimmt die Werte [math]\displaystyle{ +1 }[/math] und [math]\displaystyle{ -1 }[/math] an[cite: 1, 2]:

Ergebnis aus [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]	Gewinn/Verlust [math]\displaystyle{ x_i }[/math] (in €)	Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(X = x_i) }[/math]	Produkt [math]\displaystyle{ x_i \cdot P(X = x_i) }[/math]
Kopf	[math]\displaystyle{ +1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} = 0{,}5 }[/math]	[math]\displaystyle{ (+1) \cdot 0{,}5 = +0{,}5 }[/math]
Zahl	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} = 0{,}5 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-1) \cdot 0{,}5 = -0{,}5 }[/math]
Summe		[math]\displaystyle{ 1{,}0 }[/math]	[math]\displaystyle{ E(X) = 0{,}0 }[/math]

Der Erwartungswert des Nettogewinns berechnet sich wie folgt[cite: 1, 2]:

[math]\displaystyle{ E(X) = 1 \cdot P(X = 1) + (-1) \cdot P(X = -1) }[/math][cite: 1, 2]

[math]\displaystyle{ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 }[/math][cite: 1, 2]

Interpretation: Da der Erwartungswert [math]\displaystyle{ E(X) = 0 }[/math] beträgt, handelt es sich um ein faires Spiel[cite: 1, 2]. Weder der Spieler noch der Anbieter kann auf lange Sicht einen systematischen Gewinn erzielen[cite: 1, 2].