Preis-Absatz-Funktion

Mit Hilfe der Preis-Absatz-Funktion wird der Zusammenhang zwischen dem Preis eines Produktes und der nachgefragten Menge auf dem Markt beschrieben. In einem Angebotsmonopol ist die Preis-Absatz-Funktion die Nachfragefunktion der Käufer.

Definition

Eine Preis-Absatz-Funktion ist eine Funktion [math]\displaystyle{ p:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_p }[/math], die einer nachgefragten Menge [math]\displaystyle{ x }[/math] den Preis [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] zuordnet. Dabei ist [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math], wobei [math]\displaystyle{ \mathbb{D}_{\text{ök}} }[/math] der ökonomische Definitionsbereich ist. Die nachgefragte Menge wird häufig in ME (Mengeneinheiten) und der Preis in GE (Geldeinheiten) angegeben.

Zusammenhang mit der Erlösfunktion

Für eine Preis-Absatz-Funktion [math]\displaystyle{ p:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_p }[/math] mit der dazugehörigen Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_E }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ E(x) = p(x) \cdot x }[/math]

Cournot'scher Punkt

Es seien [math]\displaystyle{ G:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_G }[/math] die Gewinnfunktion, [math]\displaystyle{ E:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_E }[/math] die Erlösfunktion, [math]\displaystyle{ K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K }[/math] die Kostenfunktion, [math]\displaystyle{ p:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_p }[/math] die Preis-Absatz-Funktion und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] die gewinnmaximale Ausbringungsmenge eines Monopolisten, dann bezeichnen wir [math]\displaystyle{ C(x_0|p(x_0)) }[/math] als Cournot'schen Punkt.

C ist also der Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion, in dem das Unternehmen sich im Gewinnmaximum befindet.

Beispiele

Preis und Menge mit der Preis-Absatz-Funktion ermitteln

Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion:

[math]\displaystyle{ p(x) = 50 - 2x }[/math]

Es wird ein Preis von [math]\displaystyle{ 30~ \frac{\text{GE}}{\text{ME}} }[/math] festglegt. Die nachgefragte Menge beträgt dann [math]\displaystyle{ 10 }[/math] ME und wird durch

[math]\displaystyle{ p(x) =30 }[/math]

[math]\displaystyle{ 50 - 2x =30 }[/math]

[math]\displaystyle{ x =10 }[/math]

berechnet.

Beträgt die nachgefragte Menge [math]\displaystyle{ 5 }[/math] ME, beträgt der dazugehörige Preis [math]\displaystyle{ 40~ \frac{\text{GE}}{\text{ME}} }[/math] und wird durch

[math]\displaystyle{ p(5) =50 - 2\cdot 5=40 }[/math]

berechnet.

Preis-Absatz-Funktion aus der Erlösfunktion ermitteln

Es sei die Erlösfunktion

[math]\displaystyle{ E(x) = -2x^2 + 50x }[/math]

gegeben.

Die Preis-Absatz-Funktion wird durch

[math]\displaystyle{ p(x) = \frac{E(x)}{x} = \frac{-2x^2 + 50x}{x} = -2x + 50 }[/math]

berechnet.

Erlösfunktion aus der Preis-Absatz-Funktion ermitteln

Es sei die Preis-Absatz-Funktion

[math]\displaystyle{ p(x) = 40 - x }[/math]

gegeben.

Die Erlösfunktion ergibt sich durch Multiplikation mit [math]\displaystyle{ x }[/math]:

[math]\displaystyle{ E(x) = p(x) \cdot x = (40 - x) \cdot x = 40x - x^2 }[/math]

Cournot'schen Punkt ermitteln

Gegeben seien die Preis-Absatz-Funktion [math]\displaystyle{ p(x) = 60 - 2x }[/math] und die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K(x) = 10x + 100 }[/math]. Wir betrachten ME und GE pro ME.

Die Erlösfunktion lautet:

[math]\displaystyle{ E(x) = p(x) \cdot x = (60 - 2x) \cdot x = 60x - 2x^2 }[/math]

Die Gewinnfunktion ist:

[math]\displaystyle{ G(x) = E(x) - K(x) = (60x - 2x^2) - (10x + 100) = 50x - 2x^2 - 100 }[/math]

Die gewinnmaximale Ausbringungsmenge ergibt sich aus [math]\displaystyle{ G'(x) = 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ G''(x)\lt 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ G'(x) = 50 - 4x = 0 \Rightarrow x_0 = 12,5 }[/math]

[math]\displaystyle{ G''(12,5)=-4\lt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_0=12,5 }[/math] ist die gewinnmaximale Ausbringungsmenge.

Der zugehörige Preis ist:

[math]\displaystyle{ p(12,5) = 60 - 2 \cdot 12,5 = 35 }[/math]

Der Cournot'sche Punkt ist also:

[math]\displaystyle{ C(12,5 | 35) }[/math]