Grenzkostenminimum

Die Extremstelle zum Grenzkostenminimum gibt an, für welche Produktionsmenge der Kostenzuwachs minimal ist. Dieser Kostenzuwachs ist das Grenzkostenminimum.

Definition

Es sei $K:{\mathbb{D}}_{ök}\to {\mathbb{W}}_K$ eine Kostenfunktion, $K^{\prime }$ die dazugehörige Grenzkostenfunktion und $x_0$ die Extremstelle zum Tiefpunkt von $K^{\prime }$, dann nennen wir $K^{\prime }(x_0)$ Grenzkostenminimum.

Zusammenhang zwischen Grenzkostenminimum und Wendepunkt

Ist $x_0$ die Extremstelle zum Grenzkostenminimum $K^{\prime }(x_0)$ für eine Kostenfunktion $K$, dann ist $x_0$ eine Wendestelle von $K$.

Beispiele

Grenzkostenminimum berechnen

Wir betrachten die Kostenfunktion $K(x)=3x^3-45x^2+300x+192$ mit $x$ in ME und $K(x)$ in GE. Es gilt

$K^{\prime }(x)=9x^2-90x+300$

$K^{″}(x)=18x-90$

$K^{‴}(x)=18$

1. Notwendige Bedingung: $K^{″}(x)=0$

$18x-90=0|+90$

$18x=90|:18$

$x=5$

2. Hinreichende Bedingung:

$K^{‴}(5)=18>0$

$K^{\prime }$ hat bei $x=5$ ein Minimum.

3. Funktionswert berechnen:

$K^{\prime }(5)=9\cdot 5^2-90\cdot 5+300=75$

Das Grenzkostenminimum beträgt 75 $\frac{GE}{ME}$.

Wendepunkt der Kostenfunktion mit Hilfe des Grenzkostenminimums ermitteln

Bei der Berechnung des Wendepunkts $K$ von sind die Schritte 1 und 2 identisch zur oberen Rechnung. Der Funktionswert zum Wendepunkt ist jedoch $K(5)=3\cdot 5^3-45\cdot 5^2+300\cdot 5+192=942$. Der Wendepunkt von $K$ ist also $W(5|942)$. $K$ hat wegen Schritt 2 eine Rechts-Linkskrümmung bei $W$.