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*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq \sigma)\approx0,683</math>, d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 68,3 % im Intervall <math>[\mu-\sigma;\mu+\sigma]</math>. | *<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq \sigma)\approx0,683</math>, d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 68,3 % im Intervall <math>[\mu-\sigma;\mu+\sigma]</math>. | ||
*<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 2\sigma)\approx0,955</math>, d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 95,5 % im Intervall <math>[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]</math>. | *<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 2\sigma)\approx0,955</math>, d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 95,5 % im Intervall <math>[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]</math>. | ||
*<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 3\sigma)\approx0,997</math> mit <math>\sigma \geq 3</math> , d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 99,7 % im Intervall <math>[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]</math>. | *<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 3\sigma)\approx0,997</math> mit <math>\sigma \geq 3</math> , d. h. die Werte der Zufallsvariablen <math>X</math> liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 99,7 % im Intervall <math>[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]</math>. Die Wahrscheinlichkeit <math>P(X \leq k)</math> wird berechnet, indem die Höhen aller Säulen, die zu Werten gehören, die kleiner oder gleich <math>k</math> sind, addiert werden. | ||
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Aktuelle Version vom 31. August 2025, 12:24 Uhr
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments wird durch ein Histogramm visualisiert.
Definition
Es sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einem Zufallsexperiment gegeben. Ein Säulendiagramm, bei dem der Flächeninhalt einer Säule die Wahrscheinlichkeit des dazugehörigen Ergebnisses ist, heißt Histogramm. Die Höhe einer Säule wird als Wahrscheinlichkeitsdichte [math]\displaystyle{ \rho }[/math] (roh) bezeichnet. Die Breite einer Säule gibt an, wie viele Ergebnisse durch die Säule repräsentiert werden. Somit ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichte [math]\displaystyle{ \rho_K }[/math] multipliziert mit der Breite [math]\displaystyle{ b_K }[/math] die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses [math]\displaystyle{ K }[/math]; [math]\displaystyle{ P(K)=\rho_K\cdot b_K }[/math].
Beispiel
Histogramm zum dreifachen Münzwurf
Die folgenden beiden Histogramme visualisieren die Wahrscheinlichkeiten zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs.
Histogramm der Binomialverteilung
Die folgende interaktive Grafik zeigt das Histogramm der [math]\displaystyle{ B(n;p;k) }[/math]-verteilten Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math] sowie eine grafische Darstellung der Sigmaregeln. Dabei gilt
- [math]\displaystyle{ P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq \sigma)\approx0,683 }[/math], d. h. die Werte der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math] liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 68,3 % im Intervall [math]\displaystyle{ [\mu-\sigma;\mu+\sigma] }[/math].
- [math]\displaystyle{ P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 2\sigma)\approx0,955 }[/math], d. h. die Werte der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math] liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 95,5 % im Intervall [math]\displaystyle{ [\mu-2\sigma;\mu+2\sigma] }[/math].
- [math]\displaystyle{ P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)=P(|X-\mu|\leq 3\sigma)\approx0,997 }[/math] mit [math]\displaystyle{ \sigma \geq 3 }[/math] , d. h. die Werte der Zufallsvariablen [math]\displaystyle{ X }[/math] liegen mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 99,7 % im Intervall [math]\displaystyle{ [\mu-3\sigma;\mu+3\sigma] }[/math]. Die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(X \leq k) }[/math] wird berechnet, indem die Höhen aller Säulen, die zu Werten gehören, die kleiner oder gleich [math]\displaystyle{ k }[/math] sind, addiert werden.