Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Zufallsexperiment ordnet jedem möglichen Ergebnis bzw. jedem Wert einer Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit zu. Sie beschreibt, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit von [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (entsprechend [math]\displaystyle{ 100\,\% }[/math]) auf die verschiedenen Ausgänge verteilt, und wird häufig tabellarisch oder durch ein Histogramm bzw. ein Säulendiagramm visualisiert.

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ \Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\} }[/math] die endliche Ergebnismenge eines Zufallsexperiments mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ A \subseteq \Omega }[/math] ein Ereignis. Die reellen Zahlen [math]\displaystyle{ P(e_i) \in [0; 1] }[/math] genügen den folgenden Bedingungen (in Anlehnung an die Kolmogorov-Axiome):

1. Nichtnegativität und Beschränktheit: [math]\displaystyle{ 0 \leq P(e_i) \leq 1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ i \in \{1, \dots, n\} }[/math]
2. Normierung: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnismenge beträgt genau [math]\displaystyle{ 1 }[/math]:

   [math]\displaystyle{ P(\Omega) = \sum_{i=1}^n P(e_i) = P(e_1) + P(e_2) + \dots + P(e_n) = 1 }[/math]

3. Additivität für Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses [math]\displaystyle{ A = \{e_1, e_2, \dots, e_m\} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m \leq n }[/math] ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in [math]\displaystyle{ A }[/math] enthaltenen Elementarereignisse:

   [math]\displaystyle{ P(A) = \sum_{e \in A} P(e) = P(e_1) + P(e_2) + \dots + P(e_m) }[/math]

Die Zahl [math]\displaystyle{ P(e_i) }[/math] nennt man die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses [math]\displaystyle{ e_i }[/math]. Die Funktion [math]\displaystyle{ P: \Omega \to [0; 1] }[/math] bzw. die Zuordnung auf der Ereignismenge [math]\displaystyle{ P: \mathcal{P}(\Omega) \to [0; 1] }[/math] heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine diskrete Zufallsvariable und [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Zur präzisen mathematischen Beschreibung gelten folgende Konventionen:

• [math]\displaystyle{ P(X = k) }[/math] bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable genau den Wert [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt (Einzelwahrscheinlichkeit).
• [math]\displaystyle{ P(X \leq k) }[/math] bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert von höchstens [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt (kumulierte Wahrscheinlichkeit).
• [math]\displaystyle{ P(X < k) }[/math] bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner als [math]\displaystyle{ k }[/math] (also echt kleiner) annimmt.
• [math]\displaystyle{ P(X \geq k) }[/math] bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert von mindestens [math]\displaystyle{ k }[/math] annimmt.
• [math]\displaystyle{ P(X > k) }[/math] bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer als [math]\displaystyle{ k }[/math] (also mehr als [math]\displaystyle{ k }[/math]) annimmt.

Für ganzzahlige Zufallsvariablen (wie bei der Binomialverteilung) und zur Berechnung mit dem Taschenrechner gelten folgende Umformungsregeln über das Gegenereignis bzw. Nachbarwerte:

• [math]\displaystyle{ P(X < k) = P(X \leq k - 1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X > k) = 1 - P(X \leq k) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X \leq k) = 1 - P(X > k) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X \geq k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X \leq k - 1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k) + P(X = k) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X \leq k_2) - P(X \leq k_1 - 1) }[/math] für [math]\displaystyle{ k_1, k_2 \in \mathbb{N}_0 }[/math] mit [math]\displaystyle{ k_1 \leq k_2 }[/math]

Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen

Für ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] seien [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math] zwei beliebige Ereignisse ([math]\displaystyle{ A, B \subseteq \Omega }[/math]).

Additionssatz (Vereinigung von Ereignissen)

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt ([math]\displaystyle{ A \cup B }[/math]), berechnet sich nach dem allgemeinen Additionssatz:

[math]\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) }[/math]

Sind [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math] unvereinbar (disjunkt, d. h. [math]\displaystyle{ A \cap B = \emptyset }[/math] und [math]\displaystyle{ P(A \cap B) = 0 }[/math]), so gilt der spezielle Additionssatz:

[math]\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) }[/math]

Multiplikationssatz (Schnittmenge von Ereignissen)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten ([math]\displaystyle{ A \cap B }[/math]), muss differenziert werden:

• Allgemeiner Fall (abhängige Ereignisse): Unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(B \mid A) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ P_A(B) }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) }[/math]

• Spezialfall (stochastisch unabhängige Ereignisse): Die Produktformel gilt nur dann, wenn [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math] stochastisch unabhängig voneinander sind:

[math]\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) }[/math]

Beispiele

Wahrscheinlichkeitsverteilung einfacher Münzwurf

Beim Wurf einer fairen Münze lautet die Ergebnismenge [math]\displaystyle{ \Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\} }[/math]. Beiden Ausgängen wird dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet: [math]\displaystyle{ \text{Kopf} \mapsto \frac{1}{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ \text{Zahl} \mapsto \frac{1}{2} }[/math]. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt sich tabellarisch wie folgt dar:

Ergebnis [math]\displaystyle{ e_i }[/math]	Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(e_i) }[/math]
Kopf	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} = 0{,}5 }[/math]
Zahl	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} = 0{,}5 }[/math]
Summe	[math]\displaystyle{ 1{,}0 }[/math]

Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels

Die Ergebnismenge beim Wurf eines fairen sechsseitigen Würfels ist [math]\displaystyle{ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} }[/math]. Die diskrete Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gebe die gewürfelte Augenzahl an (z. B. steht [math]\displaystyle{ X = 3 }[/math] für das Auftreten der Augenzahl 3). Da ein Laplace-Experiment mit sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen vorliegt, lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

[math]\displaystyle{ P(X = k) = \frac{1}{6} }[/math] für alle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} }[/math]

In tabellarischer Form (Wahrscheinlichkeitstabelle):

Wert [math]\displaystyle{ k }[/math]	1	2	3	4	5	6	Summe
[math]\displaystyle{ P(X = k) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]