Grenzkostenminimum: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „Die Extremstelle zum Grenzkostenminimum gibt an, für welche Produktionsmenge der Kostenzuwachs minimal ist. Dieser Kostenzuwachs ist das Grenzkostenminimum. ==Definition== Es sei <math>K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K</math> eine Kostenfunktion, <math>K'</math> die dazugehörige Grenzkostenfunktion und <math>x_0</math> die Extremstelle zum Tiefpunkt von <math>K'</math>, dann nennen wir <math>K'(x_0)</math…“ |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| (4 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
Es sei <math>K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K</math> eine [[Kostenfunktion]], <math>K'</math> die dazugehörige [[Grenzkostenfunktion]] und <math>x_0</math> die [[Extremwert|Extremstelle]] zum Tiefpunkt von <math>K'</math>, dann nennen wir <math>K'(x_0)</math> '''Grenzkostenminimum'''. | Es sei <math>K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K</math> eine [[Kostenfunktion]], <math>K'</math> die dazugehörige [[Grenzkostenfunktion]] und <math>x_0</math> die [[Extremwert|Extremstelle]] zum Tiefpunkt von <math>K'</math>, dann nennen wir <math>K'(x_0)</math> '''Grenzkostenminimum'''. | ||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/zH8wOu7ienk?si=Vv8doT6rvfVEAUw-" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | |||
==Zusammenhang zwischen Grenzkostenminimum und [[Wendepunkt]]== | ==Zusammenhang zwischen Grenzkostenminimum und [[Wendepunkt]]== | ||
Ist <math>x_0</math> die [[Extremwert|Extremstelle]] zum Grenzkostenminimum <math>K'(x_0)</math> für eine Kostenfunktion <math>K</math>, dann ist <math>x_0</math> eine [[Wendepunkt|Wendestelle]] von <math>K</math>. | Ist <math>x_0</math> die [[Extremwert|Extremstelle]] zum Grenzkostenminimum <math>K'(x_0)</math> für eine Kostenfunktion <math>K</math>, dann ist <math>x_0</math> eine [[Wendepunkt|Wendestelle]] von <math>K</math>. | ||
< | ==Beispiele== | ||
===Grenzkostenminimum berechnen=== | |||
Wir betrachten die Kostenfunktion <math>K(x)=3x^3-45x^2+300x+192</math> mit <math>x</math> in ME und <math>K(x)</math> in GE. Es gilt | |||
<math>K'(x)=9x^2-90x+300</math> | |||
<math>K''(x)=18x-90</math> | |||
<math>K'''(x)=18</math> | |||
'''1. Notwendige Bedingung:''' | |||
<math>K''(x)=0</math> | |||
<math>18x-90=0~|~+90</math> | |||
<math>18x=90~|~:18</math> | |||
<math>x=5</math> | |||
'''2. Hinreichende Bedingung:''' | |||
<math>K'''(5)=18 > 0</math> | |||
<math>K'</math> hat bei <math>x=5</math> ein Minimum. | |||
'''3. Funktionswert berechnen:''' | |||
<math>K'(5)=9 \cdot 5^2-90 \cdot 5+300=75</math> | |||
Das Grenzkostenminimum beträgt 75 <math>\frac{GE}{ME}</math>. | |||
===[[Wendepunkt]] der Kostenfunktion mit Hilfe des Grenzkostenminimums ermitteln=== | |||
Bei der Berechnung des Wendepunkts <math>K</math> von sind die Schritte 1 und 2 identisch zur oberen Rechnung. Der Funktionswert zum [[Wendepunkt]] ist jedoch <math>K(5)=3 \cdot 5^3-45 \cdot 5^2+300 \cdot 5+192=942</math>. Der Wendepunkt von <math>K</math> ist also <math>W(5|942)</math>. <math>K</math> hat wegen Schritt 2 eine Rechts-Linkskrümmung bei <math>W</math>. | |||
[[Kategorie:Differentialrechnung]] | |||
[[Kategorie:Gewinnanalyse]] | |||
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]] | |||
Aktuelle Version vom 21. Juli 2024, 11:17 Uhr
Die Extremstelle zum Grenzkostenminimum gibt an, für welche Produktionsmenge der Kostenzuwachs minimal ist. Dieser Kostenzuwachs ist das Grenzkostenminimum.
Definition
Es sei [math]\displaystyle{ K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K }[/math] eine Kostenfunktion, [math]\displaystyle{ K' }[/math] die dazugehörige Grenzkostenfunktion und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] die Extremstelle zum Tiefpunkt von [math]\displaystyle{ K' }[/math], dann nennen wir [math]\displaystyle{ K'(x_0) }[/math] Grenzkostenminimum.
Zusammenhang zwischen Grenzkostenminimum und Wendepunkt
Ist [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] die Extremstelle zum Grenzkostenminimum [math]\displaystyle{ K'(x_0) }[/math] für eine Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle von [math]\displaystyle{ K }[/math].
Beispiele
Grenzkostenminimum berechnen
Wir betrachten die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K(x)=3x^3-45x^2+300x+192 }[/math] mit [math]\displaystyle{ x }[/math] in ME und [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE. Es gilt
[math]\displaystyle{ K'(x)=9x^2-90x+300 }[/math]
[math]\displaystyle{ K''(x)=18x-90 }[/math]
[math]\displaystyle{ K'''(x)=18 }[/math]
1. Notwendige Bedingung: [math]\displaystyle{ K''(x)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18x-90=0~|~+90 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18x=90~|~:18 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=5 }[/math]
2. Hinreichende Bedingung:
[math]\displaystyle{ K'''(5)=18 \gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ K' }[/math] hat bei [math]\displaystyle{ x=5 }[/math] ein Minimum.
3. Funktionswert berechnen:
[math]\displaystyle{ K'(5)=9 \cdot 5^2-90 \cdot 5+300=75 }[/math]
Das Grenzkostenminimum beträgt 75 [math]\displaystyle{ \frac{GE}{ME} }[/math].
Wendepunkt der Kostenfunktion mit Hilfe des Grenzkostenminimums ermitteln
Bei der Berechnung des Wendepunkts [math]\displaystyle{ K }[/math] von sind die Schritte 1 und 2 identisch zur oberen Rechnung. Der Funktionswert zum Wendepunkt ist jedoch [math]\displaystyle{ K(5)=3 \cdot 5^3-45 \cdot 5^2+300 \cdot 5+192=942 }[/math]. Der Wendepunkt von [math]\displaystyle{ K }[/math] ist also [math]\displaystyle{ W(5|942) }[/math]. [math]\displaystyle{ K }[/math] hat wegen Schritt 2 eine Rechts-Linkskrümmung bei [math]\displaystyle{ W }[/math].