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 Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt.
-Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.
+Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer [[ganzrationale_Funktion|ganzrationalen Funktion]] <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/r-iUbclLabI?si=a5pPkIEuYHEhuoWi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Bestimmtes Integral==
-Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen]] Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch
+Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch
-:<math>\int_a^b f(x) dx</math>
+:<math>\int_a^b f(x) \, dx</math>
 gegeben.
+Für auf den Intervallen <math>[a;b] \subseteq [a;c]</math> und <math>[b;c] \subseteq [a;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln:
+===Faktorregel===
+:<math>\int_a^b c \cdot  f(x) \, dx=c \cdot \int_a^b f(x) \, dx</math>
+===Summenregel===
+:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^bg(x) \, dx</math>
+===Intervalladditivität===
+:<math>\int_a^c f(x) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_b^c f(x) \, dx</math>
+===Vertauschen der Integrationsgrenzen===
+:<math>\int_a^b f(x) \, dx=-\int_b^a f(x) \, dx</math>
 ==Definition==
-Falls <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, so wird das bestimmte Integral durch die Gleichung
+Falls <math>F</math> eine [[Stammfunktion]] von <math>f</math> ist, so wird das bestimmte Integral von <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> durch die Gleichung
 :<math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math>
 berechnet.
-Hierbei bezeichnet <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an, das heißt:
+Hierbei bezeichnet <math>a</math> die untere und <math>b</math> die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den '''orientierten Flächeninhalt''' an, das heißt:
-* Liegt der Graph von <math>f</math> oberhalb der x-Achse, ist das besimmte Integral positiv.
+* Liegt der Graph von <math>f</math> oberhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral positiv.
 * Liegt der Graph von <math>f</math> unterhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral negativ.
 * Liegt der Graph von <math>f</math> sowohl unterhalb als auch oberhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral die Differenz aus dem oberen Flächeninhalt und dem unteren Flächeninhalt.
+<html>
+<head>
+    <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script>
+</head>
+<body>
+    <div id="box2" style="width: 90vw; max-width: 400px; height: 60vw; max-height: 300px; margin-top:20px;"></div>
+    <script type="text/javascript">
+        JXG.Options.text.useMathJax = true;
+        // JSXGraph-Board erstellen
+        var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box2', {
+            boundingbox: [-5, 5, 10, -5], // Angepasste Boundingbox für die Skalierung
+            axis: true,
+            showCopyright: false,
+            showNavigation: true,
+            grid: true, // Gitternetz aktivieren
+            defaultAxes: {
+                x: {
+                    withLabel: true,
+                    name: '\\[t\\]',
+                    label: {
+                        position: 'rt',
+                        offset: [-5, 20],
+                        fontSize: 14,
+                        anchorX: 'right'
+                    },
+                    ticks: {
+                        ticksDistance: 1,
+                        minorTicks: 0
+                    }
+                },
+                y: {
+                    withLabel: true,
+                    name: '\\[f(t)\\]',
+                    label: {
+                        position: 'rt',
+                        offset: [5, 20],
+                        fontSize: 14,
+                        anchorY: 'right'
+                    },
+                    ticks: {
+                        ticksDistance: 1,
+                        minorTicks: 0
+                    }
+                }
+            }
+        });
+        // Funktion erstellen
+        var c1 = board.create('functiongraph', [function(t) {
+            return (Math.pow(t, 5) / 24 - Math.pow(t, 3) / 2 + t);
+        }]);
+        // Integral erstellen
+        var i1 = board.create('integral', [
+            [-2.0, 2.0], c1
+        ], {
+            withLabel: true,
+            label: {
+                fontSize: 14,
+                offset: [0, 50],
+                digits: 4,
+                intl: {
+                    enabled: false,
+                    options: {}
+                }
+            },
+            baseLeft: {    // Start point
+                visible: true,
+                fixed: false,
+                withLabel: true,
+                name: 'a'
+            },
+            baseRight: {    // End point
+                visible: true,
+                fixed: false,
+                withLabel: true,
+                name: 'b'
+            }
+        });
+        // Integral-Label anpassen
+        i1.label.setText(() => {
+            const a = i1.baseLeft.X().toFixed(2); // Untere Grenze
+            const b = i1.baseRight.X().toFixed(2); // Obere Grenze
+            const value = i1.Value().toFixed(4); // Wert des Integrals
+            return `\\[\\int_{${a}}^{${b}} f(t) \\, dt = ${value}\\]`;
+        });
+        // Beschriftung der Funktion mit f
+        board.create('text', [3.5, 3, '\\[f\\]'], {
+            fontSize: 14,
+            fixed: true,
+            anchorX: 'left',
+            anchorY: 'bottom',
+            color: 'blue'
+        });
+    </script>
+</body>
+</html>
+<html><iframe width="280" height="157,5" src="https://www.youtube.com/embed/MX_WQS5-vAg?si=N2TxoCi_PHsr1_1B" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Integralfunktion==
 Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist
-:<math>I_a(x)=\int_a^b f(t)d(t)</math>
+:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t) \, dt</math>
 die dazugehörige '''Integralfunktion'''.
+==Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln==
+Es seien <math>f, ~g</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von  <math>f, ~g</math> wird wie folgt ermittelt:
+# Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln.
+# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln
+# <math>A=|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx|+|\int_{x_{S_2}}^{x_{S_3}}(f(x)-g(x)) \, dx|+\dots+|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x)) \, dx|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]])
 ==Beispiele==
 ===Flächeninhalt ermitteln===
+[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 \, dx=\frac{7}{3}</math></span>.]]
 Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>.
 Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>.
 Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch
-:<math>\int_1^2 x^2 ~dx = F(2) - F(1)</math>
+:<math>\int_1^2 x^2 \, dx = F(2) - F(1)</math>
 :<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math>
 berechnet.
-Der Graph von <math>f</math> verläuft auf dem Intervall <math>[1;2]</math> oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhal beträgt somit <math>\frac{7}{3}</math> Einheiten und ist im rechten Bild grün eingezeichnet.
+Der Graph von <math>f</math> verläuft auf dem Intervall <math>[1;2]</math> oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhalt beträgt somit <math>\frac{7}{3}</math> Einheiten und ist im rechten Bild grün eingezeichnet.
+Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(t)=\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t\) und der x-Achse auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> (siehe [[Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung#Definition|Graph von <math>f</math>]]).
-[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 ~ dx=\frac{7}{3}</math></span>.]]
+. Nullstellen von <math>f</math> berechnen
+:<math>\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t=0</math>
+:<math>t \approx -3,08 \lor t \approx -1,59 \lor t \approx 0 \lor t \approx 1,59 \lor t \approx 3,08</math>
+:<math>-1,59; 0; 1,59 \in [-2;2]</math>
+. Flächeninhalt ermitteln
+:<math>A=|\int_{-2}^{-1,59} f(t) \, dt|+|\int_{-1,59}^{0} f(t) \, dt|+|\int_{0}^{1,59} f(t) \, dt|+|\int_{1,59}^{2} f(t) \, dt| </math>
+:<math>\approx |0,13|+|-0,58|+|0,58|+|-0,13| = 0,13+0,58+0,58+0,13= 1,42</math>
+Der gesuchte Flächeninhalt beträgt <math>A=1,42</math>. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> beträgt <math>\int_{-2}^{2} f(t) \, dt=0</math>.
 ===Orientierten Flächeninhalt ermitteln===
+[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x \, dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]]
 Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>.
 Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>.
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 Die Integralfunktion ist:
 :<math>I_0(x) = \int_0^x 3t \, dt</math>.
-Eine Stammfunktion von <math>3t</math> ist <math>\frac{3t^2}{2}</math>, also:
+Eine Stammfunktion von <math>3t</math> ist <math>\frac{3t^2}{2}</math>, also gilt
 :<math>I_0(x) = \frac{3x^2}{2} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} = \frac{3x^2}{2}</math>.
+===Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln===
+[[Datei:HauptsatzIntFlächenZwGraphen.gif|mini|Fläche zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln]]
+Wir betrachten die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x)=-x^2+3</math> und ermitteln die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.
+. Schnittstellen von <math>g,~f</math> ermitteln <br>
+:<math>f(x)=g(x)</math>
+:<math>x^2+1=-x^2+3</math>
+:<math>2 \cdot x^2=2</math>
+:<math> x^2=1</math>
+:<math> x=\pm \sqrt{1}</math>
+:<math>x=\pm 1</math>
+. Stammfunktionen ermitteln
+:<math>F(x)=\frac{1}{3}x^3+x</math>
+:<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math>
+. Flächeninhalt ermitteln
+:<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x)) \, dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math>
+:<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math>
+:<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math>
+:<math>=-\frac{8}{3}</math> (orientierter Flächeninhalt)
+Der gesuchte Flächeninhalt ist der [[Betragsfunktion|Betrag]] der Zahl und beträgt <span style="color:green"><math>\frac{8}{3}</math></span>.
 [[Kategorie:Integralrechnung]]
 [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen