Stammfunktion

Eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], deren Ableitung [math]\displaystyle{ f }[/math] ist, heißt Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als Integrieren und umgangssprachlich als 'Aufleiten' bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) ermittelt, die sich zwischen dem Graphen der dazugehörigen Ableitungsfunktion und der x-Achse befinden.

Definition

Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf einem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] \subseteq \mathbb{R} }[/math] definiert und gibt es eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], sodass für alle [math]\displaystyle{ x }[/math] aus diesem Intervall [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math] gilt, dann wird [math]\displaystyle{ F }[/math] als eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] bezeichnet. Die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Ableitung von [math]\displaystyle{ F }[/math].

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Menge aller Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math], welche durch Hinzufügen einer Konstanten [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R} }[/math] dargestellt werden können

[math]\displaystyle{ \int f(x) \, dx = F(x) + C }[/math].

Integrationsregeln

Es sei [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math]. Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

Potenzregel

Für eine ganzrationale Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq -1 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]

Für eine gebrochenrationale Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}^{\gt 1} }[/math] und [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C }[/math]

Es sei [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math], dann gilt:

[math]\displaystyle{ \int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C }[/math]

Für eine Wurzelfunktion [math]\displaystyle{ f(x) =\sqrt[n]{x^m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} \neq -1 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C }[/math]

Für eine Exponentialfunktion [math]\displaystyle{ f(x) = e^{nx} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq 0 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C }[/math]

Faktorregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = c \cdot g(x) }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx }[/math]

Summenregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx }[/math]

Beispiele

Potenzregel anwenden

Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ F(x) = \frac{x^4}{4} + 5 }[/math] ist beispielsweise eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math], da [math]\displaystyle{ F'(x)=x^3=f(x) }[/math] gilt.

Faktor- und Summenregel anwenden

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ h(x) = 2x^2 + 3x^3 }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ h }[/math].

Gebrochenrationale Funktion integrieren

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].

Wurzelfunktion integrieren

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx }[/math]

[math]\displaystyle{ = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx }[/math]

[math]\displaystyle{ = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}+C }[/math]

[math]\displaystyle{ = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].

Exponentialfunktion integieren

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = 5e^{3x} }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].