Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt. | Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt. | ||
Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>. | Es sei <math>F</math> die [[Stammfunktion]] zu einer [[ganzrationale_Funktion|ganzrationalen Funktion]] <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>. | ||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/r-iUbclLabI?si=a5pPkIEuYHEhuoWi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html> | <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/r-iUbclLabI?si=a5pPkIEuYHEhuoWi" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html> | ||
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==Bestimmtes Integral== | ==Bestimmtes Integral== | ||
Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch | Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen Funktion]] <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> ist durch | ||
:<math>\int_a^b f(x) dx</math> | :<math>\int_a^b f(x) \, dx</math> | ||
gegeben. | gegeben. | ||
Für auf den Intervallen <math>[a;b]</math> und <math>[b;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln: | Für auf den Intervallen <math>[a;b] \subseteq [a;c]</math> und <math>[b;c] \subseteq [a;c]</math> stetige Funktionen <math>f, ~g</math> gelten die folgenden Rechenregeln: | ||
===Faktorregel=== | ===Faktorregel=== | ||
:<math>\int_a^b c \cdot f(x) dx=c \cdot \int_a^b f(x) dx</math> | :<math>\int_a^b c \cdot f(x) \, dx=c \cdot \int_a^b f(x) \, dx</math> | ||
===Summenregel=== | ===Summenregel=== | ||
:<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^bg(x) dx</math> | :<math>\int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^bg(x) \, dx</math> | ||
===Intervalladditivität=== | ===Intervalladditivität=== | ||
:<math>\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx</math> | :<math>\int_a^c f(x) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_b^c f(x) \, dx</math> | ||
===Vertauschen der Integrationsgrenzen=== | ===Vertauschen der Integrationsgrenzen=== | ||
:<math>\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx</math> | :<math>\int_a^b f(x) \, dx=-\int_b^a f(x) \, dx</math> | ||
==Definition== | ==Definition== | ||
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<head> | <head> | ||
<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script> | <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jsxgraph/1.4.6/jsxgraphcore.js"></script> | ||
</head> | </head> | ||
<body> | <body> | ||
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x: { | x: { | ||
withLabel: true, | withLabel: true, | ||
name: 't', | name: '\\[t\\]', | ||
label: { | label: { | ||
position: 'rt', | position: 'rt', | ||
offset: [-5, | offset: [-5, 20], | ||
fontSize: 14, | fontSize: 14, | ||
anchorX: 'right' | anchorX: 'right' | ||
}, | }, | ||
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y: { | y: { | ||
withLabel: true, | withLabel: true, | ||
name: 'f(t)', | name: '\\[f(t)\\]', | ||
label: { | label: { | ||
position: 'rt', | position: 'rt', | ||
offset: [ | offset: [5, 20], | ||
fontSize: 14, | fontSize: 14, | ||
anchorY: 'right' | anchorY: 'right' | ||
}, | }, | ||
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// Funktion erstellen | // Funktion erstellen | ||
var c1 = board.create('functiongraph', [function(t) { | var c1 = board.create('functiongraph', [function(t) { | ||
return (Math.pow(t, 5) / 24 - Math.pow(t, 3) / 2 + t; | return (Math.pow(t, 5) / 24 - Math.pow(t, 3) / 2 + t); | ||
}]); | }]); | ||
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withLabel: true, | withLabel: true, | ||
label: { | label: { | ||
fontSize: 14, | fontSize: 14, | ||
offset: [0, 50], | offset: [0, 50], | ||
digits: 4, | digits: 4, | ||
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const b = i1.baseRight.X().toFixed(2); // Obere Grenze | const b = i1.baseRight.X().toFixed(2); // Obere Grenze | ||
const value = i1.Value().toFixed(4); // Wert des Integrals | const value = i1.Value().toFixed(4); // Wert des Integrals | ||
return `\\[\\int_{${a}}^{${b}} f( | return `\\[\\int_{${a}}^{${b}} f(t) \\, dt = ${value}\\]`; | ||
}); | }); | ||
// Beschriftung der Funktion mit f | // Beschriftung der Funktion mit f | ||
board.create('text', [3.5, 3, 'f'], { | board.create('text', [3.5, 3, '\\[f\\]'], { | ||
fontSize: 14, | fontSize: 14, | ||
fixed: true, | fixed: true, | ||
anchorX: 'left', | anchorX: 'left', | ||
| Zeile 134: | Zeile 134: | ||
</body> | </body> | ||
</html> | </html> | ||
<html><iframe width="280" height="157,5" src="https://www.youtube.com/embed/MX_WQS5-vAg?si=N2TxoCi_PHsr1_1B" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html> | |||
==Integralfunktion== | ==Integralfunktion== | ||
Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist | Es sei <math>f</math> eine auf dem Intervall <math>[a;b]</math> [[stetige Funktion]], dann ist | ||
:<math>I_a(x)=\int_a^x f(t) | :<math>I_a(x)=\int_a^x f(t) \, dt</math> | ||
die dazugehörige '''Integralfunktion'''. | die dazugehörige '''Integralfunktion'''. | ||
==Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln== | ==Flächen zwischen Funktionsgraphen ermitteln== | ||
Es seien <math>f, ~g</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von <math>f, ~g</math> wird wie folgt ermittelt: | Es seien <math>f, ~g</math> auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetige Funktionen. Die Fläche zwischen den Graphen von <math>f, ~g</math> wird wie folgt ermittelt: | ||
# Schnittstellen <math>x_{S_1}, | # Schnittstellen <math>x_{S_1},\dots,x_{S_n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> der Graphen von <math>f, ~g</math> ermitteln. | ||
# Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln | # Stammfunktionen <math>F,~G</math> ermitteln | ||
# <math>A=\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x))dx|+\int_{x_{ | # <math>A=|\int_{x_{S_1}}^{x_{S_2}}(f(x)-g(x)) \, dx|+|\int_{x_{S_2}}^{x_{S_3}}(f(x)-g(x)) \, dx|+\dots+|\int_{x_{S_{n-1}}}^{x_{S_n}}(f(x)-g(x)) \, dx|</math> berechnen. (siehe [[Betragsfunktion]]) | ||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
===Flächeninhalt ermitteln=== | ===Flächeninhalt ermitteln=== | ||
[[Datei:HauptsatzIntBspx2.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x^2</math></span> auf dem Intervall <math>[1;2] </math> berechnet sich durch <span style="color:green"><math>\int_1^2 x^2 \, dx=\frac{7}{3}</math></span>.]] | |||
Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>. | Wir berechnen das bestimmte Integral von <math>f(x) = x^2</math> auf dem Intervall <math>[1;2]</math>. | ||
Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>. | Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math>. | ||
Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch | Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch | ||
:<math>\int_1^2 x^2 | :<math>\int_1^2 x^2 \, dx = F(2) - F(1)</math> | ||
:<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math> | :<math>= \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}</math> | ||
berechnet. | berechnet. | ||
Der Graph von <math>f</math> verläuft auf dem Intervall <math>[1;2]</math> oberhalb der x-Achse. Der | Der Graph von <math>f</math> verläuft auf dem Intervall <math>[1;2]</math> oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhalt beträgt somit <math>\frac{7}{3}</math> Einheiten und ist im rechten Bild grün eingezeichnet. | ||
[[ | Wir berechnen den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(t)=\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t\) und der x-Achse auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> (siehe [[Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung#Definition|Graph von <math>f</math>]]). | ||
1. Nullstellen von <math>f</math> berechnen | |||
:<math>\frac{t^5}{24}-\frac{t^3}{2}+t=0</math> | |||
:<math>t \approx -3,08 \lor t \approx -1,59 \lor t \approx 0 \lor t \approx 1,59 \lor t \approx 3,08</math> | |||
:<math>-1,59; 0; 1,59 \in [-2;2]</math> | |||
2. Flächeninhalt ermitteln | |||
:<math>A=|\int_{-2}^{-1,59} f(t) \, dt|+|\int_{-1,59}^{0} f(t) \, dt|+|\int_{0}^{1,59} f(t) \, dt|+|\int_{1,59}^{2} f(t) \, dt| </math> | |||
:<math>\approx |0,13|+|-0,58|+|0,58|+|-0,13| = 0,13+0,58+0,58+0,13= 1,42</math> | |||
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt <math>A=1,42</math>. Der orientierte Flächeninhalt auf dem Intervall <math>[-2;2]</math> beträgt <math>\int_{-2}^{2} f(t) \, dt=0</math>. | |||
===Orientierten Flächeninhalt ermitteln=== | ===Orientierten Flächeninhalt ermitteln=== | ||
[[Datei:HauptsatzIntBspx.gif|mini|Das bestimmte Integral der Funktion <span style="color:blue"><math>f(x)=x</math></span> auf dem Intervall <math>[-1;1] </math> berechnet sich durch <math>\int_{-1}^1 x \, dx=</math><span style="color:green"><math>\frac{1}{2}</math></span><span style="color:red"><math>-</math><math>\frac{1}{2}</math></span><math>=0</math>.]] | |||
Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>. | Wir betrachten <math>f(x) = x</math> auf dem Intervall <math>[-1;1]</math>. | ||
Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>. | Eine Stammfunktion von <math>f</math> ist <math>F(x) = \frac{x^2}{2}</math>. | ||
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:<math>= \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0</math>. | :<math>= \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0</math>. | ||
Der orientierte Flächeninhalt beträgt <math>0</math>, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen. | Der orientierte Flächeninhalt beträgt <math>0</math>, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen. | ||
===Integralfunktion ermitteln=== | ===Integralfunktion ermitteln=== | ||
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===Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln=== | ===Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln=== | ||
[[Datei:HauptsatzIntFlächenZwGraphen.gif|mini|Fläche zwischen den Graphen von zwei Funktionen ermitteln]] | |||
Wir betrachten die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x)=-x^2+3</math> und ermitteln die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen. | Wir betrachten die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x)=-x^2+3</math> und ermitteln die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen. | ||
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:<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math> | :<math>G(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x</math> | ||
3. Flächeninhalt ermitteln | 3. Flächeninhalt ermitteln | ||
:<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math> | :<math>\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x)) \, dx=F(1)-G(1)-(F(-1)-G(-1))</math> | ||
:<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math> | :<math>=\frac{1}{3} \cdot 1^3+1-(-\frac{1}{3}\cdot 1^3+3 \cdot 1)</math> | ||
:<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math> | :<math>-(\frac{1}{3} \cdot (-1)^3+(-1)-(-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)))</math> | ||
:<math>=-\frac{8}{3}</math> | :<math>=-\frac{8}{3}</math> (orientierter Flächeninhalt) | ||
Der gesuchte Flächeninhalt ist der [[Betragsfunktion|Betrag]] der Zahl und beträgt <span style="color:green"><math>\frac{8}{3}</math></span>. | Der gesuchte Flächeninhalt ist der [[Betragsfunktion|Betrag]] der Zahl und beträgt <span style="color:green"><math>\frac{8}{3}</math></span>. | ||
[[Kategorie:Integralrechnung]] | [[Kategorie:Integralrechnung]] | ||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | [[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | ||