Steckbriefaufgabe

In der Realität ist bei der Produktion eines Guts die Kostenfunktion nicht sofort gegeben, sondern muss mit Hilfe von ermittelten Daten bestimmt werden.

Definition

In einer Steckbriefaufgabe muss eine Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_K }[/math] auf der Grundlage von bestimmten Informationen ermittelt werden.

Beispiele

Eine Steckbriefaufgabe lösen

Ein Unternehmen stellt ein Produkt her und rechnet mit Fixkosten von 20 GE. Bei der Produktion von 2 ME entstehen Kosten von 24 GE, bei der Produktion von 10 ME entstehen Kosten von 80 GE und bei der Produktion von 4 ME entstehen Kosten von 26 GE. Zu diesen Informationen soll eine ganzrationale Kostenfunktion dritten Grades ermittelt werden, wobei [math]\displaystyle{ x }[/math] die Menge in ME und [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] die dazugehörigen Kosten in GE sind.

Die allgemeine ganzrationale Kostenfunktion dritten Grades ist [math]\displaystyle{ K(x)=ax^3+bx^2+cx+d }[/math]. Wir bestimmen im Folgenden mit den Informationen über die Produktionsmenge und die Kosten Werte für [math]\displaystyle{ a,b,c,d }[/math].

• 2 ME, Kosten 24 GE:
  [math]\displaystyle{ K(2)=a\cdot2^3+b\cdot2^2+c\cdot2+d\cdot1=a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2+d\cdot1=24 }[/math]
• 10 ME, Kosten 80 GE:
  [math]\displaystyle{ K(10)=a\cdot{10}^3+b\cdot{10}^2+c\cdot10+d\cdot1=a\cdot1000+b\cdot100+c\cdot10+d\cdot1=80 }[/math]
• 4 ME, Kosten 26 GE:
  [math]\displaystyle{ K(4)=a\cdot4^3+b\cdot4^2+c\cdot4+d\cdot1=a\cdot64+b\cdot16+c\cdot4+d\cdot1=26 }[/math]
• Fixkosten 20 GE:
  [math]\displaystyle{ K(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d\cdot1=a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d\cdot1=20 }[/math]

Die Koeffizienten bilden das folgende Gleichungssystem:

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc|c} 8 & 4 & 2 & 1 & 24 \\ 1000 & 100 & 10 & 1 & 80 \\ 64 & 16 & 4 & 1 & 26 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 20 \end{array}\right) }[/math]

Die Lösung mit Taschenrechner ergibt [math]\displaystyle{ a=0,125,\ b=-1,\ c=3,5,\ d=20 }[/math] Die Kostenfunktion ist also [math]\displaystyle{ K\left(x\right)=0,125x^3-x^2+3,5x+20 }[/math].

Gleichungen aus den Informationen aufstellen

Im Folgenden betrachten wir alle möglichen Informationen, die in Steckbriefaufgaben vorkommen können, und stellen daraus Gleichungen auf. Wir stellen zunächst die benötigten Funktionen zu einer ganzrationalen Kostenfunktion dritten Grades auf (in einer Steckbriefaufgabe müssen nur die benötigten Funktionen ermittelt werden):

• Allgemeine ganzrationale Kostenfunktion dritten Grades: [math]\displaystyle{ K(x)=ax^3+bx^2+cx+d }[/math]
• Variable Kostenfunktion: [math]\displaystyle{ K(x)=ax^3+bx^2+cx }[/math]
• Variable Stückkostenfunktion: [math]\displaystyle{ k_v(x)=ax^2+bx+c }[/math]
• Stückkostenfunktion: [math]\displaystyle{ k(x)=ax^2+bx+c+\frac{d}{x} }[/math]
• Grenzkostenfunktion: [math]\displaystyle{ K'(x)=3ax^2+2bx+c }[/math]
• Zweite Ableitung: [math]\displaystyle{ K''(x)=6ax+2b }[/math]

Anschließend ermitteln wir aus den Informationen (z. B. Fixkosten 200 GE) die dazugehörige(n) Gleichung(en):

• Fixkosten 200 GE:
  [math]\displaystyle{ K(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d\cdot 1=a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d\cdot 1=200 }[/math]
• 2 ME kosten insgesamt 24 GE:
  [math]\displaystyle{ K\left(2\right)=a\cdot2^3+b\cdot2^2+c\cdot2+d\cdot1=a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2+d\cdot1=24 }[/math]
• 2 ME verursachen variable Kosten von 14 GE:
  [math]\displaystyle{ K(2)=a\cdot2^3+b\cdot2^2+c\cdot2=a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2=14 }[/math]
• Betriebsminimum 8 ME, kurzfristige Preisuntergrenze 20 GE pro ME:
  [math]\displaystyle{ k_v\left(8\right)=a\cdot8^2+b\cdot8+c\cdot1+d\cdot0=20 }[/math]
  [math]\displaystyle{ k_v'\left(8\right)=2a\cdot8+b\cdot1+c\cdot0+d\cdot0=a\cdot16+b\cdot1+c\cdot0+d\cdot0=0 }[/math]
• Betriebsoptimum 4 ME, langfristige Preisuntergrenze 12 GE pro ME:
  [math]\displaystyle{ k\left(4\right)=a\cdot4^2+b\cdot4+c\cdot1+\frac{d}{4}=a\cdot16+b\cdot4+c\cdot1+\frac{1}{4}\cdot d=12 }[/math]
  [math]\displaystyle{ k'\left(4\right)=2a\cdot4+b\cdot1+c\cdot0-\frac{d}{4^2}=a\cdot16+b\cdot1+c\cdot0-\frac{1}{16} \cdot d=0 }[/math]
• Wendepunkt bei (4|10):
  [math]\displaystyle{ K\left(4\right)=a\cdot4^3+b\cdot4^2+c\cdot4+d\cdot1=a\cdot64+b\cdot16+c\cdot4+d\cdot1=10 }[/math]
  [math]\displaystyle{ K''\left(4\right)=6a\cdot4+2b+c\cdot0+d\cdot0=a\cdot24+b\cdot2+c\cdot0+d\cdot0=0 }[/math]
• Grenzkostenminimum beträgt 25 GE pro ME für 5 ME:
  [math]\displaystyle{ K'\left(5\right)=3a\cdot5^2+2b\cdot5+c\cdot1+d\cdot0=a\cdot75+b\cdot10+c\cdot1+d\cdot0=25 }[/math]
  [math]\displaystyle{ K''\left(5\right)=6a\cdot5+2b+c\cdot0+d\cdot0=a\cdot30+b\cdot2+c\cdot0+d\cdot0=0 }[/math]
• 8 ME verursachen Grenzkosten von 30 GE pro ME:
  [math]\displaystyle{ K'\left(8\right)=3a\cdot8^2+2b\cdot8+c\cdot1+d\cdot0=a\cdot192+b\cdot16+c\cdot1+d\cdot0=30 }[/math]