Wendepunkt

Definition

Es sei [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] eine stetige Funktion. [math]\displaystyle{ W(x_0,f(x_0) }[/math] für [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math] heißt Wendepunkt von [math]\displaystyle{ f }[/math], wenn an [math]\displaystyle{ W }[/math] ein Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve stattfindet. Wir nennen das eine Links-Rechtskrümmung oder Rechts-Linkskrümmung. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] nennen wir dann Wendestelle.

Sattelpunkt

Es sei [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] eine stetig differenzierbare Funktion und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Gilt [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math], heißt [math]\displaystyle{ (x_0|f(x_0)) }[/math] Sattelpunkt von [math]\displaystyle{ f }[/math].

Wendepunkt berechnen

Wendepunkte lassen sich mit Hilfe der Ableitungsfunktion bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Funktionswert berechnet. Im Folgenden sei [math]\displaystyle{ f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f }[/math] eine stetig differenzierbare Funktion mit [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math] und den Ableitungsfunktionen [math]\displaystyle{ f', f'' }[/math] und [math]\displaystyle{ f''' }[/math].

Notwendige Bedingung für Wendestellen

Hat [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle, so gilt [math]\displaystyle{ f''(x_0)=0 }[/math]. D. h. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ist eine Nullstelle von [math]\displaystyle{ f'' }[/math].

Hinreichende Bedingung für Wendestellen

Hat [math]\displaystyle{ f'' }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so hat der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] einen Wendepunkt. Findet der Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv statt, hat der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Rechts-Linkskrümmung. Findet der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt, hat der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Links-Rechtskrümmung.

Alternativ können wir [math]\displaystyle{ f''' }[/math] verwenden:

Ist [math]\displaystyle{ f'''(x_0)=0 }[/math] und [math]\displaystyle{ f'''(x_0)\neq0 }[/math], dann hat der Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] einen Wendepunkt. Gilt [math]\displaystyle{ f'''(x_0)\gt 0 }[/math], hat der Graph bei [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Rechts-Linkskrümmung. Gilt [math]\displaystyle{ f'''(x_0)\lt 0 }[/math], hat der Graph bei [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine eine Links-Rechtskrümmung.

Funktionswert berechnen

Kurvenübergänge graphisch erläutert

[math]\displaystyle{ f(x)=sin(2x) }[/math]

Im Bild auf der rechten Seite ist die Tangente während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt.

Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen

Erfüllt ein [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_f }[/math] die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] berechnet.

Beispiele

Graph von [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2 }[/math] mit Ableitungen

Wir betrachten [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2 }[/math] (grün) mit den Ableitungen [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x }[/math] (blau), [math]\displaystyle{ f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4 }[/math] (rot) und [math]\displaystyle{ f'''\left(x\right)=24x-18 }[/math] (orange).

[math]\displaystyle{ f }[/math] hat bei [math]\displaystyle{ x_0\approx1,696 }[/math] eine Wendestelle. Es gilt [math]\displaystyle{ f''\left(x_0\right)\approx0 }[/math] und [math]\displaystyle{ f'''\left(x_0\right)\approx22,704 }[/math]. Also geht an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] der Graph von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Da [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\approx-12,121 }[/math] ist [math]\displaystyle{ W(1,696|-12,121) }[/math] ein Wendepunkt.

[math]\displaystyle{ f }[/math] hat eine zweite Wendestelle bei [math]\displaystyle{ x_1\approx-0,196 }[/math]. Es gilt [math]\displaystyle{ f''\left(x_1\right)\approx 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ f'''\left(x_1\right)\approx-22,704 }[/math]. Also geht an der Stelle [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] der Graph von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über. Da [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\approx-0,052 }[/math] ist [math]\displaystyle{ W(-0,196|-0,052) }[/math] ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.