Wendepunkt

Definition

Es sei $f:{\mathbb{D}}_f\to {\mathbb{W}}_f$ eine stetige Funktion. $W(x_0,f(x_0)$ für $x_0\in {\mathbb{D}}_f$ heißt Wendepunkt von $f$, wenn an $W$ ein Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt von einer Rechtskurve in eine Linkskurve stattfindet. Wir nennen das eine Links-Rechtskrümmung oder Rechts-Linkskrümmung. $x_0$ nennen wir dann Wendestelle.

Sattelpunkt

Es sei $f:{\mathbb{D}}_f\to {\mathbb{W}}_f$ eine stetig differenzierbare Funktion und $x_0$ eine Wendestelle von $f$. Gilt $f^{\prime }(x_0)=0$, heißt $(x_0|f(x_0))$ Sattelpunkt von $f$.

Wendepunkt berechnen

Wendepunkte lassen sich mit Hilfe der Ableitungsfunktion bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Funktionswert berechnet. Im Folgenden sei $f:{\mathbb{D}}_f\to {\mathbb{W}}_f$ eine stetig differenzierbare Funktion mit $x_0\in {\mathbb{D}}_f$ und den Ableitungsfunktionen $f^{\prime },f^{″}$ und $f^{‴}$.

Notwendige Bedingung für Wendestellen

Hat $f$ an der Stelle $x_0$ eine Wendestelle, so gilt $f^{″}(x_0)=0$. D. h. $x_0$ ist eine Nullstelle von $f^{″}$.

Hinreichende Bedingung für Wendestellen

Hat $f^{″}$ an der Stelle $x_0$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so hat der Graph von $f$ an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt. Findet der Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv statt, hat der Graph von $f$ an der Stelle $x_0$ eine Rechts-Linkskrümmung. Findet der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt, hat der Graph von $f$ an der Stelle $x_0$ eine Links-Rechtskrümmung.

Alternativ können wir $f^{‴}$ verwenden:

Ist $f^{‴}(x_0)=0$ und $f^{‴}(x_0)\ne 0$, dann hat der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt. Gilt $f^{‴}(x_0)>0$, hat der Graph bei $x_0$ eine Rechts-Linkskrümmung. Gilt $f^{‴}(x_0)<0$, hat der Graph bei $x_0$ eine eine Links-Rechtskrümmung.

Funktionswert berechnen

Kurvenübergänge graphisch erläutert

$f(x)=sin(2x)$

Im Bild auf der rechten Seite ist die Tangente während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt.

Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen

Erfüllt ein $x_0\in {\mathbb{D}}_f$ die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist $x_0$ eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch $f(x_0)$ berechnet.

Beispiele

Graph von $f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2$ mit Ableitungen

Wir betrachten $f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2$ (grün) mit den Ableitungen $f^{\prime }\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x$ (blau), $f^{″}\left(x\right)={12x}^2-18x-4$ (rot) und $f^{‴}\left(x\right)=24x-18$ (orange).

$f$ hat bei $x_0\approx 1,696$ eine Wendestelle. Es gilt $f^{″}\left(x_0\right)\approx 0$ und $f^{‴}\left(x_0\right)\approx 22,704$. Also geht an der Stelle $x_0$ der Graph von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Da $f\left(x_0\right)\approx -12,121$ ist $W(1,696|-12,121)$ ein Wendepunkt.

$f$ hat eine zweite Wendestelle bei $x_1\approx -0,196$. Es gilt $f^{″}\left(x_1\right)\approx 0$ und $f^{‴}\left(x_1\right)\approx -22,704$. Also geht an der Stelle $x_1$ der Graph von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über. Da $f\left(x_1\right)\approx -0,052$ ist $W(-0,196|-0,052)$ ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.