Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung werden Flächeninhalte zwischen dem Graphen einer Funktion der x-Achse berechnet.
Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] und der x-Achse im Intervall [math]\displaystyle{ [0;x] }[/math] wird durch den Funktionswert einer Flächeninhaltsfunktion [math]\displaystyle{ A }[/math] ermittelt.
Es sei [math]\displaystyle{ F }[/math] die Stammfunktion zu einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit der Konstanten [math]\displaystyle{ C=0 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ F }[/math] die Flächeninhaltsfunktion zu [math]\displaystyle{ f }[/math].
Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf dem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x) \in \mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall.
Definition
Falls [math]\displaystyle{ F }[/math] eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist, so wird das bestimmte Integral durch die Gleichung
- [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) }[/math]
berechnet.
Hierbei bezeichnet [math]\displaystyle{ a }[/math] die untere und [math]\displaystyle{ b }[/math] die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an, das heißt:
- Liegt der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] oberhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt positiv.
- Liegt der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt negativ.
- Verläuft der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt die Differenz