Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung werden Flächeninhalte zwischen dem Graphen einer Funktion der x-Achse berechnet.

Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion $f$ und der x-Achse im Intervall $[0;x]$ wird durch den Funktionswert einer Flächeninhaltsfunktion $A$ ermittelt.

Es sei $F$ die Stammfunktion zu einer Funktion $f$ mit der Konstanten $C=0$, dann ist $F$ die Flächeninhaltsfunktion zu $f$.

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion $f$ auf dem Intervall $[a;b]$ ist durch

${\int }_a^{b}f(x)dx$

gegeben.

Definition

Falls $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, so wird das bestimmte Integral von auf dem Intervall $[a;b]$ durch die Gleichung

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

berechnet.

Hierbei bezeichnet $a$ die untere und $b$ die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an, das heißt:

• Liegt der Graph von $f$ oberhalb der x-Achse, ist das besimmte Integral positiv.
• Liegt der Graph von $f$ unterhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral negativ.
• Liegt der Graph von $f$ sowohl unterhalb als auch oberhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral die Differenz aus dem oberen Flächeninhalt und dem unteren Flächeninhalt.

Integralfunktion

Es sei $f$ eine auf dem Intervall $[a;b]$ stetige Funktion, dann ist

$I_a(x)={\int }_a^{x}f(t)d(t)$

die dazugehörige Integralfunktion.

Beispiele

Flächeninhalt ermitteln

Wir berechnen das bestimmte Integral von $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $[1;2]$. Eine Stammfunktion von $f$ ist $F(x)=\frac{x^3}{3}$. Das bestimmte Integral auf dem Intervall [1;2] wird durch

${\int }_1^2{x}^{2}dx=F(2)-F(1)$

$=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$

berechnet. Der Graph von $f$ verläuft auf dem Intervall $[1;2]$ oberhalb der x-Achse. Der Flächeninhal beträgt somit $\frac{7}{3}$ Einheiten und ist im rechten Bild grün eingezeichnet.

Das bestimmte Integral der Funktion $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $[1;2]$ berechnet sich durch ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{7}{3}$.

Orientierten Flächeninhalt ermitteln

Wir betrachten $f(x)=x$ auf dem Intervall $[-1;1]$. Eine Stammfunktion von $f$ ist $F(x)=\frac{x^2}{2}$. Das bestimmte Integral ist:

${\int }_{-1}^{1}xdx=F(1)-F(-1)$

$=\frac{1^2}{2}-\frac{(-1{)}^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

Der orientierte Flächeninhalt beträgt $0$, da sich die positiven und negativen Flächeninhalte genau ausgleichen.

Das bestimmte Integral der Funktion $f(x)=x$ auf dem Intervall $[-1;1]$ berechnet sich durch ${\int }_{-1}^{1}xdx=$$\frac{1}{2}$$-$$\frac{1}{2}$$=0$.

Integralfunktion ermitteln

Gegeben sei $f(x)=3x$ und $a=0$. Die Integralfunktion ist:

$I_0(x)={\int }_0^{x}3tdt$.

Eine Stammfunktion von $3t$ ist $\frac{3t^2}{2}$, also:

$I_0(x)=\frac{3x^2}{2}-\frac{3\cdot 0^2}{2}=\frac{3x^2}{2}$.