Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung werden Flächeninhalte zwischen dem Graphen einer Funktion der x-Achse berechnet.

Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion

Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] und der x-Achse im Intervall [math]\displaystyle{ [0;x] }[/math] wird durch den Funktionswert einer Flächeninhaltsfunktion [math]\displaystyle{ A }[/math] ermittelt.

Es sei [math]\displaystyle{ F }[/math] die Stammfunktion zu einer Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit der Konstanten [math]\displaystyle{ C=0 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ F }[/math] die Flächeninhaltsfunktion zu [math]\displaystyle{ f }[/math].

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf dem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] }[/math] entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall.

Definition

Falls [math]\displaystyle{ F }[/math] eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist, so wird das bestimmte Integral durch die Gleichung

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) }[/math]

berechnet.

Hierbei bezeichnet [math]\displaystyle{ a }[/math] die untere und [math]\displaystyle{ b }[/math] die obere Grenze des Integrals. Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an, das heißt:

• Liegt der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] oberhalb der x-Achse, ist das besimmte Integral positiv.
• Liegt der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] unterhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral negativ.
• Liegt der Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math] sowohl unterhalb als auch oberhalb der x-Achse, ist das bestimmte Integral die Differenz aus dem oberen Flächeninhalt und dem unteren Flächeninhalt.

Integralfunktion

Es sei [math]\displaystyle{ f }[/math] eine auf dem Intervall [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math] stetige Funktion, dann ist

[math]\displaystyle{ I_a(x)=\int_a^b f(t)d(t) }[/math]

die dazugehörige Integralfunktion.