Baumdiagramm: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „===Zufallsexperimente in Baumdiagrammen darstellen=== Zufallsexperimente werden mit Hilfe von Baumdiagrammen dargestellt, welche die Beziehungen zwischen einzelnen Stufen des Experiments und den Ergebnissen darstellt. Unter Beispielen ist ein Münzwurf dargestellt. Um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen werden die folgenden Regeln angewendet. Die '''Pfadmultiplikationsregel''' besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem…“ |
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Ein '''Baumdiagramm''' stellt die möglichen [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnisse]] eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] grafisch dar. Es dient dazu, die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] der möglichen Ergebnisse zu berechnen und zu visualisieren. | |||
Jeder '''Knoten''' eines Baumdiagramms repräsentiert ein bestimmtes Zwischenergebnis im Ablauf des Zufallsexperiments. Die Knoten sind durch '''Zweige''' verbunden. Jeder Zweig ist mit der Wahrscheinlichkeit beschriftet, mit der das Zwischenergebnis des verbundenen Knotens eintrifft. Ein '''Pfad''' ist eine Folge von Knoten, die durch Zweige miteinander verbunden sind. Ein Pfad der bei dem Anfangsknoten startet und bei einem Endknoten endet repräsentiert ein Ergebnis des Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses wird an das Ende des Pfades geschrieben. | |||
==Pfadmultiplikation== | |||
Die '''Pfadmultiplikationsregel''' besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades ist. | Die '''Pfadmultiplikationsregel''' besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades ist. | ||
==Pfadaddition== | |||
Die '''Pfadadditionsregel''' besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse sind. | Die '''Pfadadditionsregel''' besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse sind. | ||
===Zufallsexperiment dreifacher Münzwurf | ==Beispiele== | ||
Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist dann <math>S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\}</math> | ===Zufallsexperiment dreifacher Münzwurf grafisch darstellen=== | ||
Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist dann <math>S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\}</math>. | |||
Das Ereignis, dass | |||
*kein Kopf erscheint, ist <math>A = \{ZZZ\}</math>. | |||
*zwei- oder dreimal hintereinander Zahl erscheint, ist <math>B = \{ZZZ; ZZK; KZZ\}</math>. | |||
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Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungDreiMünz.png|thumb|upright=1.5|Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs | |||
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Die rechte Abbildung zeigt, wie eine Ergebnismenge S mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden kann. Ereignis B tritt also ein, wenn das Zufallsexperiment entlang einer zu Ereignis B gehörigen Kantenkombination führt (z. B. KZZ). | Die rechte Abbildung zeigt, wie eine Ergebnismenge S mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden kann. Ereignis B tritt also ein, wenn das Zufallsexperiment entlang einer zu Ereignis B gehörigen Kantenkombination führt (z. B. KZZ). | ||
Version vom 18. Juli 2024, 09:25 Uhr
Definition
Ein Baumdiagramm stellt die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments grafisch dar. Es dient dazu, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Ergebnisse zu berechnen und zu visualisieren.
Jeder Knoten eines Baumdiagramms repräsentiert ein bestimmtes Zwischenergebnis im Ablauf des Zufallsexperiments. Die Knoten sind durch Zweige verbunden. Jeder Zweig ist mit der Wahrscheinlichkeit beschriftet, mit der das Zwischenergebnis des verbundenen Knotens eintrifft. Ein Pfad ist eine Folge von Knoten, die durch Zweige miteinander verbunden sind. Ein Pfad der bei dem Anfangsknoten startet und bei einem Endknoten endet repräsentiert ein Ergebnis des Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses wird an das Ende des Pfades geschrieben.
Pfadmultiplikation
Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades ist.
Pfadaddition
Die Pfadadditionsregel besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse sind.
Beispiele
Zufallsexperiment dreifacher Münzwurf grafisch darstellen
Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist dann [math]\displaystyle{ S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} }[/math].
Das Ereignis, dass
- kein Kopf erscheint, ist [math]\displaystyle{ A = \{ZZZ\} }[/math].
- zwei- oder dreimal hintereinander Zahl erscheint, ist [math]\displaystyle{ B = \{ZZZ; ZZK; KZZ\} }[/math].
-
Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs
Die rechte Abbildung zeigt, wie eine Ergebnismenge S mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden kann. Ereignis B tritt also ein, wenn das Zufallsexperiment entlang einer zu Ereignis B gehörigen Kantenkombination führt (z. B. KZZ).
Die Wahrscheinlichkeit für jede Teilstrecke ist 0,5. Wir definieren eine Zufallsvariable X, die die Häufigkeit von Zahl angibt. X kann dann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {ZZZ} ist:
[math]\displaystyle{ P\left(ZZZ\right)=P(X=3)=0,5\cdot0,5\cdot0,5=0,125=12,5\% }[/math] (Pfadmultiplikation)
Das Ereignis „die ersten beiden Würfe ergeben Zahl“ ist [math]\displaystyle{ \{ZZZ; ZZK\} }[/math] mit der Wahrscheinlichkeit:
[math]\displaystyle{ P\left(\{ZZZ;ZZK\} \right)=P(\{ZZZ\})+P(\{ZZK\})=0,125+0,125=0,25=25\% }[/math] (Pfadaddition)