Wendepunkt: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „==Definition== Es sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> eine stetige Funktion. <math>W(x_0,f(x_0)</math> für <math>x_0 \in \mathbb{D}_f </math> heißt '''Wendepunkt''' von <math>f</math>, wenn an <math>W</math> ein Wechsel von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt von einer Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funk…“ |
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===Funktionswert berechnen=== | ===Funktionswert berechnen=== | ||
Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet. | Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet. | ||
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ZIYraiiPBE4?si=SLuTWYgSnrFxNtMf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ZIYraiiPBE4?si=SLuTWYgSnrFxNtMf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html> | ||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
====Kurvenübergänge graphisch erläutert==== | |||
[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]] | |||
Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve <span style="color:blau">blau</span> und während der Rechtskurve <span style="color:grün">grün</span> gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt. | |||
====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen==== | |||
[[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]] | [[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]] | ||
Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange). | Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange). | ||
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<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann. | <math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann. | ||
====Sattelpunkt==== | |||
Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3</math> mit <math>f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~</math>. | |||
[[Kategorie:Mathematik]] | [[Kategorie:Mathematik]] | ||
[[Kategorie:Differentialrechnung]] | [[Kategorie:Differentialrechnung]] | ||
[[Kategorie:Fachabitur]] | [[Kategorie:Fachabitur]] | ||