Wendepunkt: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Alternativ''' können wir <math>f'''</math> verwenden:

Ist <math>f'''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].

Ist <math>f''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].

===Funktionswert berechnen===

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====Kurvenübergänge graphisch erläutert====

[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]

Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.

Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.

====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====

[[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]

Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> ~~(grün)~~ mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> ~~(blau)~~, <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> ~~(rot)~~ und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> ~~(orange)~~.

Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math>, <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math>.

~~<math>f</math> hat bei <math>x_0\approx1,696</math> eine Wendestelle. Es gilt <math>f~~''~~\left(x_0\right)\approx0</math> und <math>f~~'''\left(x_0\right)\approx22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_0\right)\approx-12,121</math> ist <math>W(1,696|-12,121)</math> ein Wendepunkt.

'''1. Notwendige Bedingung:'''

<math>f</math> ~~hat eine zweite Wendestelle bei~~ <math>x_1\approx-0,196</math>. ~~Es gilt~~ <math>f''~~\left~~(~~x_1\right~~)\approx 0</math> und <math>f'''~~\left~~(~~x_1\right~~)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\~~left~~(x_1~~\right~~)\approx-0,052</math> ~~ist~~ <math>W(-0,196|-0,052)</math> ~~ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann~~.

<math>x_0\approx 1,696,~x_1\approx -0,196</math>

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

<math>f'''(1,696) \approx 22,704</math> und <math>f'''(-0,196) \approx -22,704</math>

Also geht an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Bei <math>x_1</math> geht der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über.

'''3. Funktionswert berechnen:'''

<math>f(1,696)\approx-12,121</math> und <math>f(x_1)\approx-0,052</math>

<math>f</math> die Wendepunkte <math>W_0(1,696|-12,121)</math> und <math>W_1(-0,196|-0,052)</math>.

====Sattelpunkt====

[[Datei:WendepunktSattelpunkt.png|mini|Graph der [[Funktion]] <math>f(x)=x^3</math>]]

Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3</math> mit <math>f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~</math>.

[[~~Kategorie~~:~~Mathematik~~]]

'''1. Notwendige Bedingung:'''

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

Der [[Graph]] von <math>f</math> geht bei <math>x=0</math> von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über.

'''3. Funktionswert berechnen:'''

<math>f</math> den Wendepunkt <math>W(0|0)</math>

Außerdem ist <math>W</math> ein Sattelpunkt, da <math>f'(0)=3 \cdot 0^2 =0</math> gilt. Die [[Extremwert#Notwendige_Bedingung_f%C3%BCr_Extremstellen|notwendige Bedingung]] für Extremwerte ist also ebenfalls erfüllt. Die Steigung in <math>W</math> ist <math>0</math>.

[[Kategorie:Differentialrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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 '''Alternativ''' können wir <math>f'''</math> verwenden:
-Ist <math>f'''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].
+Ist <math>f''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].
 ===Funktionswert berechnen===
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 ====Kurvenübergänge graphisch erläutert====
 [[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]
-Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve <span style="color:blau">blau</span> und während der Rechtskurve <span style="color:grün">grün</span> gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.
+Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve <span style="color:blue">blau</span> und während der Rechtskurve <span style="color:green">grün</span> gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.
 ====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====
 [[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]
-Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange).
+Wir betrachten <span style="color:green"><math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math></span> mit den Ableitungen <span style="color:blue"><math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math></span>, <span style="color:red"><math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math></span> und <span style="color:orange"><math>f'''\left(x\right)=24x-18</math></span>.
-<math>f</math> hat bei <math>x_0\approx1,696</math> eine Wendestelle. Es gilt <math>f''\left(x_0\right)\approx0</math> und <math>f'''\left(x_0\right)\approx22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_0\right)\approx-12,121</math> ist <math>W(1,696|-12,121)</math> ein Wendepunkt.
+'''1. Notwendige Bedingung:'''
-<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.
+<math>f''(x)=0</math>
+<math>12x^2-18x-4=0</math>
+<math>x_0\approx 1,696,~x_1\approx -0,196</math>
+'''2. Hinreichende Bedingung:'''
+<math>f'''(1,696) \approx 22,704</math> und <math>f'''(-0,196) \approx -22,704</math>
+Also geht an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Bei <math>x_1</math> geht der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über.
+'''3. Funktionswert berechnen:'''
+<math>f(1,696)\approx-12,121</math> und <math>f(x_1)\approx-0,052</math>
+<math>f</math> die Wendepunkte <math>W_0(1,696|-12,121)</math> und <math>W_1(-0,196|-0,052)</math>.
 ====Sattelpunkt====
+[[Datei:WendepunktSattelpunkt.png|mini|Graph der [[Funktion]] <math>f(x)=x^3</math>]]
 Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3</math> mit <math>f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~</math>.
-[[Kategorie:Mathematik]]
+'''1. Notwendige Bedingung:'''
+<math>f''(x)=0</math>
+<math>6x=0</math>
+<math>x=0</math>
+'''2. Hinreichende Bedingung:'''
+<math>f'''(x)=6>0</math>
+Der [[Graph]] von <math>f</math> geht bei <math>x=0</math> von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über.
+'''3. Funktionswert berechnen:'''
+<math>f(0)=0</math>
+<math>f</math> den Wendepunkt <math>W(0|0)</math>
+Außerdem ist <math>W</math> ein Sattelpunkt, da <math>f'(0)=3 \cdot 0^2 =0</math> gilt. Die [[Extremwert#Notwendige_Bedingung_f%C3%BCr_Extremstellen|notwendige Bedingung]] für Extremwerte ist also ebenfalls erfüllt. Die Steigung in <math>W</math> ist <math>0</math>.
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]