Wendepunkt: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Alternativ''' können wir <math>f'''</math> verwenden:

Ist <math>f'''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].

Ist <math>f''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].

===Funktionswert berechnen===

~~====Kurvenübergänge graphisch erläutert====~~

~~[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|<math>f(x)=sin(2x)</math>]]~~

~~Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt.~~

~~====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====~~

Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet.

==Beispiele==

====Kurvenübergänge graphisch erläutert====

[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]

Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.

====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====

[[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]

Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> ~~(grün)~~ mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> ~~(blau)~~, <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> ~~(rot)~~ und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (~~orange~~).

Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math>, <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math>.

'''1. Notwendige Bedingung:'''

<math>x_0\approx 1,696,~x_1\approx -0,196</math>

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

<math>f'''(1,696) \approx 22,704</math> und <math>f'''(-0,196) \approx -22,704</math>

Also geht an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Bei <math>x_1</math> geht der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über.

'''3. Funktionswert berechnen:'''

<math>f(1,696)\approx-12,121</math> und <math>f(x_1)\approx-0,052</math>

<math>f</math> die Wendepunkte <math>W_0(1,696|-12,121)</math> und <math>W_1(-0,196|-0,052)</math>.

====Sattelpunkt====

[[Datei:WendepunktSattelpunkt.png|mini|Graph der [[Funktion]] <math>f(x)=x^3</math>]]

Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3</math> mit <math>f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~</math>.

'''1. Notwendige Bedingung:'''

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

Der [[Graph]] von <math>f</math> geht bei <math>x=0</math> von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über.

'''3. Funktionswert berechnen:'''

<math>f</math> hat bei <math>x_0\approx1,696</math> eine Wendestelle. Es gilt <math>f''\left(x_0\right)\approx0</math> und <math>f'''\left(x_0\right)\approx22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_0\right)\approx-12,121</math> ist <math>W(~~1,696|-12,121~~)</math> ~~ein Wendepunkt.~~

<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0~~,196~~|-0~~,052~~)</math> ~~ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.~~

<math>f</math> den Wendepunkt <math>W(0|0)</math>

Außerdem ist <math>W</math> ein Sattelpunkt, da <math>f'(0)=3 \cdot 0^2 =0</math> gilt. Die [[Extremwert#Notwendige_Bedingung_f%C3%BCr_Extremstellen|notwendige Bedingung]] für Extremwerte ist also ebenfalls erfüllt. Die Steigung in <math>W</math> ist <math>0</math>.

~~[[Kategorie:Mathematik]]~~

[[Kategorie:Differentialrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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 '''Alternativ''' können wir <math>f'''</math> verwenden:
-Ist <math>f'''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].
+Ist <math>f''(x_0)=0</math> und <math>f'''(x_0)\neq0</math>, dann hat der Graph der Funktion <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Wendepunkt. Gilt <math>f'''(x_0)>0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechts-Linkskrümmung]]. Gilt <math>f'''(x_0)<0</math>, hat der Graph bei <math>x_0</math> eine eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Links-Rechtskrümmung]].
 ===Funktionswert berechnen===
-====Kurvenübergänge graphisch erläutert====
-[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|<math>f(x)=sin(2x)</math>]]
-Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve blau und während der Rechtskurve grün gefärbt.
-====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====
 Erfüllt ein <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist <math>x_0</math> eine Wendestelle. Der Funktionswert wird dann durch <math>f(x_0)</math> berechnet.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/ZIYraiiPBE4?si=SLuTWYgSnrFxNtMf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Beispiele==
+====Kurvenübergänge graphisch erläutert====
+[[Datei:WendepunktBeispielSin.gif|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=sin(2x)</math>]]
+Im Bild auf der rechten Seite ist die [[Differenzenquotient#Tangente|Tangente]] während der Linkskurve <span style="color:blue">blau</span> und während der Rechtskurve <span style="color:green">grün</span> gefärbt. Die Wendepunkte befinden sich an den Punkten, in denen die Tangente die Farbe wechselt.
+====Wendepunkt für eine ganzrationale Funktion berechnen====
 [[Datei:DifferentialrechnungWende.png|mini|Graph von <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> mit Ableitungen]]
-Wir betrachten <math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math> (grün) mit den Ableitungen <math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math> (blau), <math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math> (rot) und <math>f'''\left(x\right)=24x-18</math> (orange).
+Wir betrachten <span style="color:green"><math>f\left(x\right)=x^4-3x^3-2x^2</math></span> mit den Ableitungen <span style="color:blue"><math>f'\left(x\right)={4x}^3-9x^2-4x</math></span>, <span style="color:red"><math>f''\left(x\right)={12x}^2-18x-4</math></span> und <span style="color:orange"><math>f'''\left(x\right)=24x-18</math></span>.
+'''1. Notwendige Bedingung:'''
+<math>f''(x)=0</math>
+<math>12x^2-18x-4=0</math>
+<math>x_0\approx 1,696,~x_1\approx -0,196</math>
+'''2. Hinreichende Bedingung:'''
+<math>f'''(1,696) \approx 22,704</math> und <math>f'''(-0,196) \approx -22,704</math>
+Also geht an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Bei <math>x_1</math> geht der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über.
+'''3. Funktionswert berechnen:'''
+<math>f(1,696)\approx-12,121</math> und <math>f(x_1)\approx-0,052</math>
+<math>f</math> die Wendepunkte <math>W_0(1,696|-12,121)</math> und <math>W_1(-0,196|-0,052)</math>.
+====Sattelpunkt====
+[[Datei:WendepunktSattelpunkt.png|mini|Graph der [[Funktion]] <math>f(x)=x^3</math>]]
+Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3</math> mit <math>f'(x)=3x^2,~f''(x)=6x,~f'''(x)=6~</math>.
+'''1. Notwendige Bedingung:'''
+<math>f''(x)=0</math>
+<math>6x=0</math>
+<math>x=0</math>
+'''2. Hinreichende Bedingung:'''
+<math>f'''(x)=6>0</math>
+Der [[Graph]] von <math>f</math> geht bei <math>x=0</math> von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über.
+'''3. Funktionswert berechnen:'''
-<math>f</math> hat bei <math>x_0\approx1,696</math> eine Wendestelle. Es gilt <math>f''\left(x_0\right)\approx0</math> und <math>f'''\left(x_0\right)\approx22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_0</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_0\right)\approx-12,121</math> ist <math>W(1,696|-12,121)</math> ein Wendepunkt.
+<math>f(0)=0</math>
-<math>f</math> hat eine zweite Wendestelle bei <math>x_1\approx-0,196</math>. Es gilt <math>f''\left(x_1\right)\approx 0</math> und <math>f'''\left(x_1\right)\approx-22,704</math>. Also geht an der Stelle <math>x_1</math> der Graph von einer [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskrümmung]] in eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskrümmung]] über. Da <math>f\left(x_1\right)\approx-0,052</math> ist <math>W(-0,196|-0,052)</math> ein weiterer Wendepunkt. Das folgende Video zeigt, wie ein Wendepunkte berechnet werden kann.
+<math>f</math> den Wendepunkt <math>W(0|0)</math>
+Außerdem ist <math>W</math> ein Sattelpunkt, da <math>f'(0)=3 \cdot 0^2 =0</math> gilt. Die [[Extremwert#Notwendige_Bedingung_f%C3%BCr_Extremstellen|notwendige Bedingung]] für Extremwerte ist also ebenfalls erfüllt. Die Steigung in <math>W</math> ist <math>0</math>.
-[[Kategorie:Mathematik]]
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]