Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment (auch Zufallsversuch genannt) ist ein zentraler Grundbegriff der Stochastik und bildet das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es beschreibt einen Vorgang, dessen Ausgang trotz genau definierter Bedingungen nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Mehrstufige Zufallsexperimente werden häufig mithilfe von Baumdiagrammen visualisiert.

Definition

Ein Versuch heißt in der Mathematik genau dann Zufallsexperiment, wenn er die folgenden drei Kriterien erfüllt:

1. Planmäßigkeit: Der Versuch wird unter genau festgelegten und reproduzierbaren Versuchsbedingungen durchgeführt.
2. Wiederholbarkeit: Das Experiment kann – zumindest theoretisch – unter identischen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.
3. Zufälligkeit: Das konkrete Ergebnis einer einzelnen Durchführung ist ungewiss und lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen. Die Gesamtheit aller prinzipiell möglichen Ausgänge ist jedoch vorab bekannt.

Ergebnis und Ergebnismenge

• Ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis (oft mit dem Kleinbuchstaben [math]\displaystyle{ e }[/math] oder [math]\displaystyle{ \omega }[/math] bezeichnet).
• Die Zusammenfassung aller denkbaren Ergebnisse in einer Menge heißt Ergebnismenge (oder Stichprobenraum). Die Ergebnismenge wird mit dem griechischen Großbuchstaben [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] (Omega) oder [math]\displaystyle{ S }[/math] bezeichnet:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\} }[/math]

• Die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge wird als Mächtigkeit [math]\displaystyle{ |\Omega| }[/math] bezeichnet.

Zufallsvariable

Häufig interessiert bei einem Zufallsexperiment nicht die verbale Beschreibung des Ergebnisses, sondern ein zugeordneter Zahlenwert (z. B. Augensumme, Gewinnbetrag, Anzahl defekter Bauteile).

Eine Zufallsvariable (oder Zufallsgröße) [math]\displaystyle{ X }[/math] ist eine mathematische Funktion, die jedem Ergebnis [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega }[/math] eines Zufallsexperiments eindeutig eine reelle Zahl [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] zuordnet:

[math]\displaystyle{ X: \Omega \to \mathbb{R} }[/math]

Zufallsvariablen werden standardmäßig mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet (z. B. [math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ Y }[/math]), während die tatsächlich angenommenen Werte mit Kleinbuchstaben (z. B. [math]\displaystyle{ x_i }[/math] oder [math]\displaystyle{ k }[/math]) notiert werden.

Ereignis

In der Stochastik interessiert man sich oft nicht nur für Einzelergebnisse, sondern dafür, ob der Versuchsausgang eine bestimmte Eigenschaft aufweist.

Jede Teilmenge [math]\displaystyle{ A }[/math] der Ergebnismenge [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] heißt Ereignis ([math]\displaystyle{ A \subseteq \Omega }[/math]). Ein Ereignis [math]\displaystyle{ A }[/math] tritt genau dann ein, wenn das bei der Durchführung erzielte Ergebnis ein Element von [math]\displaystyle{ A }[/math] ist ([math]\displaystyle{ \omega \in A }[/math]).

Sicheres Ereignis

Das Ereignis [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] selbst enthält alle überhaupt denkbaren Ergebnisse. Es tritt bei jeder Durchführung des Zufallsexperiments garantiert ein und heißt daher sicheres Ereignis. Für seine Wahrscheinlichkeit gilt stets:

[math]\displaystyle{ P(\Omega) = 1 }[/math]

Unmögliches Ereignis

Die leere Menge [math]\displaystyle{ \emptyset = \{\} }[/math] enthält keinerlei Ergebnisse. Sie kann bei keinem Versuchsausgang eintreten und heißt daher unmögliches Ereignis. Für ihre Wahrscheinlichkeit gilt:

[math]\displaystyle{ P(\emptyset) = 0 }[/math]

Elementarereignis

Ein Ereignis, das aus genau einem einzigen Ergebnis besteht ([math]\displaystyle{ |E| = 1 }[/math]), heißt Elementarereignis:

[math]\displaystyle{ E = \{\omega\} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega }[/math]

Gegenereignis

Das Gegenereignis [math]\displaystyle{ \bar{A} }[/math] (auch Komplementärereignis) zu einem Ereignis [math]\displaystyle{ A }[/math] umfasst alle Ergebnisse der Ergebnismenge [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], die nicht in [math]\displaystyle{ A }[/math] liegen:

[math]\displaystyle{ \bar{A} = \Omega \setminus A }[/math]

Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn [math]\displaystyle{ A }[/math] nicht eintritt. Es gelten die Beziehungen:

• [math]\displaystyle{ A \cup \bar{A} = \Omega }[/math] (Vereinigung ergibt das sichere Ereignis)
• [math]\displaystyle{ A \cap \bar{A} = \emptyset }[/math] (Ereignis und Gegenereignis schließen sich gegenseitig aus)
• [math]\displaystyle{ P(\bar{A}) = 1 - P(A) }[/math]

Beispiele

Zufallsexperiment: Einmaliger Wurf eines idealen Würfels

Ein regelmäßiger sechsseitiger Würfel wird geworfen und die oben liegende Augenzahl erfasst. Die Versuchsbedingungen sind konstant, der Wurf ist beliebig oft wiederholbar und das Ergebnis ist nicht determinierbar.

• Ergebnismenge: [math]\displaystyle{ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} }[/math] mit [math]\displaystyle{ |\Omega| = 6 }[/math]
• Zufallsvariable: [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt die gewürfelte Augenzahl an. Der Ausdruck [math]\displaystyle{ X = 3 }[/math] beschreibt das Ereignis, dass genau eine 3 fällt.
• Mögliches Ergebnis: [math]\displaystyle{ \omega = 3 }[/math]
• Elementarereignis: [math]\displaystyle{ E_1 = \{1\} }[/math] (Es fällt die Zahl 1)
• Zusammengesetztes Ereignis: „Es wird keine 2 und keine 3 gewürfelt“ entspricht [math]\displaystyle{ A = \{1, 4, 5, 6\} }[/math]
• Sicheres Ereignis: [math]\displaystyle{ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} }[/math] („Es fällt eine Zahl von 1 bis 6“)
• Unmögliches Ereignis: [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] (z. B. „Es wird eine 7 gewürfelt“)
• Gegenereignis: Für das Ereignis [math]\displaystyle{ B = \{1, 2\} }[/math] („Augenzahl höchstens 2“) lautet das Gegenereignis:

[math]\displaystyle{ \bar{B} = \Omega \setminus B = \{3, 4, 5, 6\} }[/math] („Augenzahl mindestens 3“)

Zufallsexperiment: Dreifacher Münzwurf

Eine faire Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Es wird notiert, in welcher Reihenfolge Kopf (K) und Zahl (Z) fallen.

• Ergebnismenge: Alle Kombinationen aus drei Würfen:

[math]\displaystyle{ \Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\} }[/math] mit [math]\displaystyle{ |\Omega| = 2^3 = 8 }[/math]

• Einzelergebnis: [math]\displaystyle{ \omega = \mathrm{ZKZ} }[/math] (1. Wurf: Zahl, 2. Wurf: Kopf, 3. Wurf: Zahl)
• Elementarereignis: [math]\displaystyle{ E = \{\mathrm{ZKZ}\} }[/math]
• Ereignis: „Es fällt kein einziger Kopf“ entspricht [math]\displaystyle{ A = \{\mathrm{ZZZ}\} }[/math]
• Zusammengesetztes Ereignis: „Es fällt zwei- oder dreimal hintereinander Zahl“:

[math]\displaystyle{ B = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{KZZ}\} }[/math]

• Sicheres Ereignis: [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] („Bei allen drei Würfen fällt jeweils Kopf oder Zahl“)
• Unmögliches Ereignis: [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] (z. B. „Die Münze zeigt ein Symbol, das weder Kopf noch Zahl ist“)
• Gegenereignis: Das Gegenereignis zu [math]\displaystyle{ A = \{\mathrm{ZZZ}\} }[/math] („Kein Kopf“) bedeutet inhaltlich „Mindestens einmal Kopf“:

[math]\displaystyle{ \bar{A} = \Omega \setminus A = \{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\} }[/math]