Menge

Eine Menge ist eine Sammlung von klar definierten, unterscheidbaren Objekten, die als ihre Elemente bezeichnet werden. Diese Elemente können alles Mögliche sein, z. B. Zahlen, Buchstaben, Punkte im Raum, andere Mengen usw.

Definition

Eine Menge [math]\displaystyle{ M }[/math] ist eine Zusammenfassung unterschiedlicher Objekte [math]\displaystyle{ x }[/math]. Die Objekte heißen Elemente der Menge [math]\displaystyle{ M }[/math]. Eine Menge wird durch Aufzählung ihrer Elemente oder durch die Angabe einer Eigenschaft beschrieben:

• [math]\displaystyle{ M_1=\{x_1;...;x_n\} }[/math] (Aufzählung der Elemente)
• [math]\displaystyle{ M_2=\{x~|~E(x)\} }[/math] (Alle [math]\displaystyle{ x }[/math], die Bedingung [math]\displaystyle{ E(x) }[/math] erfüllen)

Die Klammern {} heißen Mengenklammern. Das Semikolon trennt die Elemente innerhalb der Mengenklammern. Ist [math]\displaystyle{ x }[/math] Element der Menge [math]\displaystyle{ M }[/math] schreiben wir [math]\displaystyle{ x \in M }[/math]. Ist [math]\displaystyle{ y }[/math] kein Element der Menge [math]\displaystyle{ M }[/math] schreiben wir [math]\displaystyle{ y \notin M }[/math].

Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält heißt leere Menge. Wir schreiben [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math].

Teilmenge

[math]\displaystyle{ M_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] seien Mengen. Gilt für alle [math]\displaystyle{ x \in M_1 }[/math] auch [math]\displaystyle{ x \in M_2 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] eine Teilmenge von [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] und wir schreiben [math]\displaystyle{ M_1 \subseteq M_2 }[/math]. Existiert zusätzlich ein [math]\displaystyle{ y \in M_2 }[/math] mit [math]\displaystyle{ y \notin M_1 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] eine echte Teilmenge von [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] und wir schreiben [math]\displaystyle{ M_1 \subset M_2 }[/math].

Mengenoperationen

[math]\displaystyle{ M_1,~M_2 }[/math] seien Mengen. In den unteren Bildern ist [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] durch den linken Kreis und [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] durch den rechten Kreis veranschaulicht. Die Mengen können vereinigt, geschnitten oder subtrahiert werden.

• 
  Vereinigungsmenge
• 
  Schnittmenge
• 
  Differenzmenge

Vereinigungsmenge

Die Menge [math]\displaystyle{ V=\{x~|~x \in M_1 \text{ oder } x \in M_2\} }[/math] heißt Vereinigungsmenge von [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ M_2 }[/math]. Wir schreiben [math]\displaystyle{ V=M_1 \cup M_2 }[/math] und sagen [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] vereinigt [math]\displaystyle{ M_2 }[/math].

Schnittmenge

Die Menge [math]\displaystyle{ S=\{x~|~x \in M_1 \text{ und } x \in M_2\} }[/math] heißt Schnittmenge von [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ M_2 }[/math]. Wir schreiben [math]\displaystyle{ S=M_1 \cap M_2 }[/math] und sagen [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] geschnitten [math]\displaystyle{ M_2 }[/math].

Differenzmenge

Die Menge [math]\displaystyle{ D=\{x~|~x \in M_1 \text{ und } x \notin M_2\} }[/math] heißt Differenzmenge von [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ M_2 }[/math]. Wir schreiben [math]\displaystyle{ S=M_1 \backslash M_2 }[/math] und sagen [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] minus [math]\displaystyle{ M_2 }[/math].