Kurzfristige Preisuntergrenze: Unterschied zwischen den Versionen
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Um Marktanteile zurückzugewinnen bzw. mehr Einheiten eines Produkts zu verkaufen, wird der Verkaufspreis für das Produkt gesenkt. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist der Verkaufspreis, bei dem wir einen Verlust in Höhe der Fixkosten eingehen. Dieser Verkaufspreis kann daher nur kurzfristig gehalten werden. Die dazugehörige Produktionsmenge ist das Betriebsminimum. | |||
==Variable Stückkostenfunktion== | ==Variable Stückkostenfunktion== | ||
Gegeben sei eine [[Kostenfunktion]] <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math> mit der [[Kostenfunktion#Definition|variablen Kostenfunktion]] <math>K_v</math> und den [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] <math>d \in \mathbb{R}^{>0}</math>. Dann nennen wir <math>k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}</math> '''variable Stückkostenfunktion''' oder '''variable Stückkosten'''. Die [[Kostenfunktion]] berechnet sich durch <math>K(x)=k_v(x)\cdot x+d</math>. <math>x</math> ist in ME, <math>K(x)</math> in GE und <math>k_v(x)</math> in GE pro ME gegeben. | Gegeben sei eine [[Kostenfunktion]] <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math> mit der [[Kostenfunktion#Definition|variablen Kostenfunktion]] <math>K_v</math> und den [[Kostenfunktion#Definition|Fixkosten]] <math>d \in \mathbb{R}^{>0}</math>. Dann nennen wir <math>k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}</math> '''variable Stückkostenfunktion''' oder '''variable Stückkosten'''. Die [[Kostenfunktion]] berechnet sich durch <math>K(x)=k_v(x)\cdot x+d</math>. <math>x</math> ist in ME, <math>K(x)</math> in GE und <math>k_v(x)</math> in GE pro ME gegeben. | ||
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Es sei <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math> eine [[Kostenfunktion]] und <math>k_v</math> die dazugehörige variable Stückkostenfunktion. Die [[Extremwert#Definition|Minimalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> der variablen Stückkosten <math>k_v</math> nennen wir '''Betriebsminimum'''. Das dazugehörige [[Extremwert#Definition|Minimum]] <math>k_v(x_0)</math> heißt '''kurzfristige Preisuntergrenze'''. | Es sei <math>K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K}</math> eine [[Kostenfunktion]] und <math>k_v</math> die dazugehörige variable Stückkostenfunktion. Die [[Extremwert#Definition|Minimalstelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_{ök}</math> der variablen Stückkosten <math>k_v</math> nennen wir '''Betriebsminimum'''. Das dazugehörige [[Extremwert#Definition|Minimum]] <math>k_v(x_0)</math> heißt '''kurzfristige Preisuntergrenze'''. | ||
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==Gewinn im Betriebsminimum== | |||
Ist der Verkaufspreis für ein Produkt die kurzfristige Preisuntergrenze und wird das Betriebsminimum an Mengeneinheiten verkauft, decken sich die variablen Kosten und der Erlös und es fällt ein Verlust in Höhe der Fixkosten an. Der Preis kann damit kurzfristig, aber nicht auf Dauer gehalten werden. | |||
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Für die Kostenfunktion <math>K(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> und <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0}</math> sind die variablen Kosten durch <math>K_v(x)=ax^3+bx^2+cx</math>. Wir berechnen die variablen Stückkosten durch <math>k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx}{x}=ax^2+bx+c</math> gegeben. Die Kostenfunktion lässt sich mit den variablen Stückkosten durch <math>K(x)=k_v(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx)\cdot x+d=ax^3+bx^2+cx+d</math> berechnen. | Für die Kostenfunktion <math>K(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> und <math>a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0}</math> sind die variablen Kosten durch <math>K_v(x)=ax^3+bx^2+cx</math>. Wir berechnen die variablen Stückkosten durch <math>k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx}{x}=ax^2+bx+c</math> gegeben. Die Kostenfunktion lässt sich mit den variablen Stückkosten durch <math>K(x)=k_v(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx)\cdot x+d=ax^3+bx^2+cx+d</math> berechnen. | ||
===Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze ermitteln=== | ===Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze graphisch ermitteln=== | ||
Der Punkt <math>B(3,0625|3,12109375)</math> ist [[Extremwert#Definition|Tiefpunkt]] von <math>k_v</math> und damit ist das Betriebsminimum bei ca. <math>3,06~ME</math> und die kurzfristige Preisuntergrenze bei ca. <math>3,12~ \frac{GE}{ME}</math>. | |||
===Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze berechnen=== | |||
[[Datei:DifferentialrechnungBoptBmin.png|mini|Graphen der <span style="color:orange">Kostenfunktion</span>, <span style="color:blue">Stückkostenfunktion</span> und <span style="color:green">variabler Stückkostenfunktion</span> zu <math>K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10</math>]] | [[Datei:DifferentialrechnungBoptBmin.png|mini|Graphen der <span style="color:orange">Kostenfunktion</span>, <span style="color:blue">Stückkostenfunktion</span> und <span style="color:green">variabler Stückkostenfunktion</span> zu <math>K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10</math>]] | ||
Die Gesamtkostenfunktion für ein Produkt sei durch <math>K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10</math> gegeben. <math>x</math> ist in ME und <math>K(x)</math> in GE. | Die Gesamtkostenfunktion für ein Produkt sei durch <math>K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10</math> gegeben. <math>x</math> ist in ME und <math>K(x)</math> in GE. | ||
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#'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>k_v'(x)=0</math> <br> <math>2x-6,125=0~|~+6,125</math> <br> <math>2x=6,125~|~:2</math> <br> <math>x=3,0625</math> | #'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>k_v'(x)=0</math> <br> <math>2x-6,125=0~|~+6,125</math> <br> <math>2x=6,125~|~:2</math> <br> <math>x=3,0625</math> | ||
#'''Hinreichende Bedingung:''' <br><math>k_v''(3,0625)=2>0</math>, daher | #'''Hinreichende Bedingung:''' <br><math>k_v''(3,0625)=2>0</math>, daher beträgt das '''Betriebsminimum''' <math>x=3,0625</math> ME. | ||
#'''Funktionswert ermitteln:''' <br> <math>k_v(3,0625)=3,0625^2-6,125 \cdot 3,0625+12,5=3,12109375 \approx 3,12</math> ist die '''kurzfristige Preisuntergrenze'''. | #'''Funktionswert ermitteln:''' <br> <math>k_v(3,0625)=3,0625^2-6,125 \cdot 3,0625+12,5=3,12109375 \approx 3,12 \frac{GE}{ME}</math> ist die '''kurzfristige Preisuntergrenze'''. | ||
===Gewinn im Betriebsminimum ermitteln=== | |||
Wir führen das vorherige Beispiel fort. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist der neue Verkaufspreis für das Produkt. Damit ist die [[Erlösfunktion]] <math>E(x)=3,12109375x</math>. Die Gewinnfunktion ist dann <math>G(x)=E(x)-K(x)=3,12109375x-(x^3-6,125x^2+12,5x+10)=3,12109375x-x^3+6,125x^2-12,5x-10=-x^3+6,125x^2-9,37890625x-10</math>. Produzieren wir das Betriebsminimum, also <math>x=3,0625</math> ME, beträgt der Gewinn <math>G(3,0625)=-(3,0625)^3+6,125 \cdot 3,0625^2-9,37890625 \cdot 3,0625-10=-10</math> GE. Wir machen also einen Verlust in Höhe der Fixkosten. | |||
[[Kategorie:Differentialrechnung]] | |||
[[Kategorie:Gewinnanalyse]] | |||
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]] | |||
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]] | |||
Aktuelle Version vom 7. Februar 2025, 10:23 Uhr
Um Marktanteile zurückzugewinnen bzw. mehr Einheiten eines Produkts zu verkaufen, wird der Verkaufspreis für das Produkt gesenkt. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist der Verkaufspreis, bei dem wir einen Verlust in Höhe der Fixkosten eingehen. Dieser Verkaufspreis kann daher nur kurzfristig gehalten werden. Die dazugehörige Produktionsmenge ist das Betriebsminimum.
Variable Stückkostenfunktion
Gegeben sei eine Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K} }[/math] mit der variablen Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K_v }[/math] und den Fixkosten [math]\displaystyle{ d \in \mathbb{R}^{\gt 0} }[/math]. Dann nennen wir [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x} }[/math] variable Stückkostenfunktion oder variable Stückkosten. Die Kostenfunktion berechnet sich durch [math]\displaystyle{ K(x)=k_v(x)\cdot x+d }[/math]. [math]\displaystyle{ x }[/math] ist in ME, [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE und [math]\displaystyle{ k_v(x) }[/math] in GE pro ME gegeben.
Definition
Es sei [math]\displaystyle{ K: \mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_{K} }[/math] eine Kostenfunktion und [math]\displaystyle{ k_v }[/math] die dazugehörige variable Stückkostenfunktion. Die Minimalstelle [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D}_{ök} }[/math] der variablen Stückkosten [math]\displaystyle{ k_v }[/math] nennen wir Betriebsminimum. Das dazugehörige Minimum [math]\displaystyle{ k_v(x_0) }[/math] heißt kurzfristige Preisuntergrenze.
Gewinn im Betriebsminimum
Ist der Verkaufspreis für ein Produkt die kurzfristige Preisuntergrenze und wird das Betriebsminimum an Mengeneinheiten verkauft, decken sich die variablen Kosten und der Erlös und es fällt ein Verlust in Höhe der Fixkosten an. Der Preis kann damit kurzfristig, aber nicht auf Dauer gehalten werden.
Beispiele
Variable Stückkosten für die allgemeine Kostenfunktion dritten Grades
Für die Kostenfunktion [math]\displaystyle{ K(x)=ax^3+bx^2+cx+d }[/math] und [math]\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{R}^{\neq\ 0} }[/math] sind die variablen Kosten durch [math]\displaystyle{ K_v(x)=ax^3+bx^2+cx }[/math]. Wir berechnen die variablen Stückkosten durch [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}=\frac{ax^3+bx^2+cx}{x}=ax^2+bx+c }[/math] gegeben. Die Kostenfunktion lässt sich mit den variablen Stückkosten durch [math]\displaystyle{ K(x)=k_v(x)\cdot x=(ax^3+bx^2+cx)\cdot x+d=ax^3+bx^2+cx+d }[/math] berechnen.
Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze graphisch ermitteln
Der Punkt [math]\displaystyle{ B(3,0625|3,12109375) }[/math] ist Tiefpunkt von [math]\displaystyle{ k_v }[/math] und damit ist das Betriebsminimum bei ca. [math]\displaystyle{ 3,06~ME }[/math] und die kurzfristige Preisuntergrenze bei ca. [math]\displaystyle{ 3,12~ \frac{GE}{ME} }[/math].
Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze berechnen
Die Gesamtkostenfunktion für ein Produkt sei durch [math]\displaystyle{ K(x)=x^3-6,125x^2+12,5x+10 }[/math] gegeben. [math]\displaystyle{ x }[/math] ist in ME und [math]\displaystyle{ K(x) }[/math] in GE.
Wir berechnen die Variablen Stückkosten [math]\displaystyle{ k_v(x)=\frac{x^3-6,125x^2+12,5x}{x}=x^2-6,125x+12,5 }[/math] mit [math]\displaystyle{ k_v'(x)=2x-6,125 }[/math] und [math]\displaystyle{ k_v''(x)=2 }[/math].
- Notwendige Bedingung:
[math]\displaystyle{ k_v'(x)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2x-6,125=0~|~+6,125 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2x=6,125~|~:2 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math] - Hinreichende Bedingung:
[math]\displaystyle{ k_v''(3,0625)=2\gt 0 }[/math], daher beträgt das Betriebsminimum [math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math] ME. - Funktionswert ermitteln:
[math]\displaystyle{ k_v(3,0625)=3,0625^2-6,125 \cdot 3,0625+12,5=3,12109375 \approx 3,12 \frac{GE}{ME} }[/math] ist die kurzfristige Preisuntergrenze.
Gewinn im Betriebsminimum ermitteln
Wir führen das vorherige Beispiel fort. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist der neue Verkaufspreis für das Produkt. Damit ist die Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E(x)=3,12109375x }[/math]. Die Gewinnfunktion ist dann [math]\displaystyle{ G(x)=E(x)-K(x)=3,12109375x-(x^3-6,125x^2+12,5x+10)=3,12109375x-x^3+6,125x^2-12,5x-10=-x^3+6,125x^2-9,37890625x-10 }[/math]. Produzieren wir das Betriebsminimum, also [math]\displaystyle{ x=3,0625 }[/math] ME, beträgt der Gewinn [math]\displaystyle{ G(3,0625)=-(3,0625)^3+6,125 \cdot 3,0625^2-9,37890625 \cdot 3,0625-10=-10 }[/math] GE. Wir machen also einen Verlust in Höhe der Fixkosten.