Stammfunktion

Eine Funktion zu der die Ableitung gebildet wurde, heißt Stammfunktion. Das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden einer Stammfunktion wird daher als integrieren und umgangssprachlich als "aufleiten" bezeichnet. Mit Hilfe der Stammfunktion werden Flächeninhalte (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) ermittelt, die sich zwischen dem Graphen der dazugehörigen Ableitungsfunktion und der x-Achse befinden.

Definition

Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] auf einem Intervall [math]\displaystyle{ [a; b] \subseteq \mathbb{R} }[/math] definiert und gibt es eine Funktion [math]\displaystyle{ F }[/math], sodass für alle [math]\displaystyle{ x }[/math] aus diesem Intervall [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math] gilt, dann wird [math]\displaystyle{ F }[/math] als eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math] bezeichnet. Die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] heißt dabei die Ableitung von [math]\displaystyle{ F }[/math].

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist die Menge aller Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math], welche durch Hinzufügen einer konstanten Funktion [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{R} }[/math] dargestellt werden können

[math]\displaystyle{ \int f(x) \, dx = F(x) + C }[/math].

Integrationsregeln

Es sei [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math]. Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f }[/math] wird mit den folgenden Regeln ermittelt:

Potenzregel

Für eine ganzrationale Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = x^n }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq -1 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]

Für eine gebrochenrationale Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}^{\gt 1} }[/math] und [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (\frac{1}{x^n}) \, dx= \int x^{-n} \, dx=-\frac{x^{-n+1}}{n-1} + C }[/math]

Es sei [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math], dann gilt:

[math]\displaystyle{ \int (\frac{1}{x}) \, dx =\ln|x|+C }[/math]

Für eine Wurzelfunktion [math]\displaystyle{ f(x) =\sqrt[n]{x^m} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \frac{m}{n} \neq -1 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (\sqrt[n]{x^m}) \, dx=\int (x^{\frac{m}{n}}) \, dx = \frac{x^{\frac{m}{n} + 1}}{\frac{m}{n} + 1} + C }[/math]

Für eine Exponentialfunktion [math]\displaystyle{ f(x) = e^{nx} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \neq 0 }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int e^{nx} \, dx = \frac{1}{n} e^{nx} + C }[/math]

Faktorregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = c \cdot g(x) }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (c \cdot g(x)) \, dx = c \cdot \int g(x) \, dx }[/math]

Summenregel

Für [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) + h(x) }[/math] gilt:

[math]\displaystyle{ \int (g(x) + h(x)) \, dx = \int g(x) \, dx + \int h(x) \, dx }[/math]

Beispiele

Potenzregel anwenden

Das unbestimmte Integral von [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int (x^3) \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ F(x) = \frac{x^4}{4} + 5 }[/math] ist beispielsweise eine Stammfunktion von [math]\displaystyle{ f }[/math], da [math]\displaystyle{ F'(x)=x^3=f(x) }[/math] gilt.

Faktor- und Summenregel anwenden

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ h(x) = 2x^2 + 3x^3 }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int (2x^2 + 3x^3) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 3x^3 \, dx= 2 \int x^2 \, dx + 3\int x^3 \, dx= \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ H_1(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ H_2(x)=\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} -19 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ h }[/math].

Gebrochenrationale Funktion integrieren

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-1} \, dx + 3 \int x^{-2} \, dx = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ F_1(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} + 7 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = 2 \ln|x| - \frac{3}{x} - 10 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].

Wurzelfunktion integrieren

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2\sqrt[4]{x^3} \right) \, dx = \int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx + \int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx - \int 2x^{\frac{3}{4}} \, dx }[/math]

[math]\displaystyle{ = 3 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 4 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx - 2 \int x^{\frac{3}{4}} \, dx }[/math]

[math]\displaystyle{ = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} + 5 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + 8x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{7} x^{\frac{7}{4}} - 12 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].

Exponentialfunktion integieren

Das unbestimmte Integral der Funktion [math]\displaystyle{ f(x) = 5e^{3x} }[/math] wird durch

[math]\displaystyle{ \int 5e^{3x} \, dx = 5 \int e^{3x} \, dx= 5 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}= \frac{5}{3} e^{3x} + C }[/math]

berechnet. [math]\displaystyle{ F_1(x) = \frac{5}{3} e^{3x} + 4 }[/math] und [math]\displaystyle{ F_2(x) = \frac{5}{3} e^{3x} - 9 }[/math] sind Beispiele für Stammfunktionen von [math]\displaystyle{ f }[/math].