Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen haben die Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] und spielen insbesondere in Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle. Dazu gehören der Zinseszinseffekt, der Bevölkerungswachstum oder die Ausbreitung von Infektionskrankheiten.
Definition
Eine Funktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1 }[/math] heißt allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.
[math]\displaystyle{ c }[/math] ist der y-Achsenabschnitt. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist [math]\displaystyle{ S_y(0|c) }[/math]. Gilt [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] und [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] steigt der Graph streng monoton an. Wir nennen das positives Wachstum. Gilt [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] und [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] fällt der Graph streng monoton. Wir nennen das negatives Wachstum.
Nullstellen
Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis [math]\displaystyle{ a }[/math] der Form [math]\displaystyle{ f(x)=c \cdot a^x }[/math] mit [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1 }[/math] hat keine Nullstellen.
Beispiele
Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen
Eine lineare Funktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math] ist eine ganzrationale Funktion. Der Funktionsterm lässt sich auch als [math]\displaystyle{ mx^1+b }[/math] schreiben und ist damit ein Polynom mit dem Grad [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Die Koeffizienten sind [math]\displaystyle{ m, b }[/math].
Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren
Die quadratische Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=-2x^2+3x+5 }[/math] ist eine ganzrationale Funktion mit Grad [math]\displaystyle{ 2 }[/math] und den Koeffizienten [math]\displaystyle{ -2,3,5 }[/math].
Ganzrationale Funktion 3. Grades
[math]\displaystyle{ f(x)=4x^3-24x^2+36 }[/math] ist eine ganzrationale Funktion, da der Funktionsterm, [math]\displaystyle{ 4x^3-24x^2+36 }[/math], ein Polynom ist. Der Grad von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. Die Koeffizienten sind [math]\displaystyle{ 3, -2, 0, 36 }[/math]. Der Graph sieht wie folgt aus:
