Gleichverteilung

Die Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Laplace-Experiment.

Laplace-Experiment

Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, heißt Laplace-Experiment.

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit der Ergebnismenge [math]\displaystyle{ S }[/math] zu einem Laplace-Experiment heißt Gleichverteilung. Es sei [math]\displaystyle{ A }[/math] ein Ereigns, so gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses [math]\displaystyle{ P\left(A\right)=\frac{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} }[/math].

Beispiele

Wurf von zwei idealen Würfeln

Das Zufallsexperiment, einmaliges Werfen zweier idealer Würfel, mit der Ergebnismenge [math]\displaystyle{ S=\{11; 12; 13; 14; 15; 16; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 41; 42; 43; 44; 45; 46; 51; 52; 53; 54; 55; 56; 61; 62; 63; 64; 65; 66\} }[/math] ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis gleich ist. Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine Zufallsvariable, die die Augensumme angibt und [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispielsweise hat das Ergebnis [math]\displaystyle{ 13 }[/math], der erste Würfel zeigt die Augenzahl 1 und der zweite Würfel zeigt die Augenzahl 2, die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P(13)=\frac{1}{36} }[/math]. Damit gilt [math]\displaystyle{ P(X=7)=P(16)+P(61)+P(25)+P(52)+P(43)+P(34)=\frac{6}{36} }[/math].

Dreifacher Münzwurf

Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist dann [math]\displaystyle{ S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} }[/math]. Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine Zufallsvariable, die die Häufigkeit von Zahl angibt und [math]\displaystyle{ P:S \rightarrow \mathbb{R} }[/math] die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es gilt [math]\displaystyle{ P(ZZZ)=\frac{1}{8} }[/math]. Außerdem gilt [math]\displaystyle{ P(X=2)=\frac{3}{8} }[/math], da dies die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses [math]\displaystyle{ \{ZZK; ZKZ;KZZ\} }[/math] ist.